ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 809

По условию задано уравнение: $$ ax^2 + bx + a = 0, \quad a \neq 0 $$ Так как старший коэффициент $a \neq 0$, данное уравнение является квадратным. Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно $1$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного квадратного уравнения. По теореме Виета произведение корней квадратного уравнения равно отношению свободного члена к старшему коэффициенту: $$ x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{a} $$ Поскольку $a \neq 0$, получаем: $$ x_1 \cdot x_2 = 1 $$ Заметим также, что ни один из корней не равен нулю: если бы $x = 0$ являлся корнем, то при подстановке получили бы $a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + a = 0$, то есть $a = 0$, что противоречит условию $a \neq 0$. Следовательно: $$ x_2 = \frac{1}{x_1} $$ Таким образом, корни уравнения являются взаимно обратными числами, что и требовалось доказать.