ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 624

Любое комплексное число $z = a + bi$ ($z \neq 0$) на комплексной плоскости изображается точкой с координатами $(a; b)$. Все аргументы комплексного числа $z$ задаются формулой: $$ \operatorname{Arg} z = \varphi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ где $\varphi$ — одно из значений аргумента (главное значение), удовлетворяющее системе: $$ \begin{cases} \cos \varphi = \dfrac{a}{|z|}, \\ \sin \varphi = \dfrac{b}{|z|}, \end{cases} \quad \text{где } |z| = \sqrt{a^2 + b^2}. $$ 1) $z = 7$ Действительная часть $a = 7$, мнимая часть $b = 0$. Точка $(7; 0)$ лежит на положительной полуоси действительной оси. Следовательно, главное значение аргумента $\varphi = 0$. Все аргументы: $$ \operatorname{Arg} z = 0 + 2\pi k = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $z = -4$ Действительная часть $a = -4$, мнимая часть $b = 0$. Точка $(-4; 0)$ лежит на отрицательной полуоси действительной оси. Следовательно, главное значение аргумента $\varphi = \pi$. Все аргументы: $$ \operatorname{Arg} z = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 3) $z = i$ Действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = 1$. Точка $(0; 1)$ лежит на положительной полуоси мнимой оси. Следовательно, главное значение аргумента $\varphi = \dfrac{\pi}{2}$. Все аргументы: $$ \operatorname{Arg} z = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 4) $z = -3i$ Действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = -3$. Точка $(0; -3)$ лежит на отрицательной полуоси мнимой оси. Следовательно, главное значение аргумента $\varphi = -\dfrac{\pi}{2}$ (или $\dfrac{3\pi}{2}$). Все аргументы: $$ \operatorname{Arg} z = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 5) $z = -1 + i$ Действительная часть $a = -1$, мнимая часть $b = 1$. Найдем модуль числа: $$ |z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$ Найдем угол $\varphi$: $$ \begin{cases} \cos \varphi = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin \varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases} $$ Точка $(-1; 1)$ расположена во II координатной четверти, значит, $\varphi = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$. Все аргументы: $$ \operatorname{Arg} z = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 6) $z = \sqrt{3} + i$ Действительная часть $a = \sqrt{3}$, мнимая часть $b = 1$. Найдем модуль числа: $$ |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 $$ Найдем угол $\varphi$: $$ \begin{cases} \cos \varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \\ \sin \varphi = \dfrac{1}{2}. \end{cases} $$ Точка $(\sqrt{3}; 1)$ расположена в I координатной четверти, значит, $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$. Все аргументы: $$ \operatorname{Arg} z = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 7) $z = 2 - 2i$ Действительная часть $a = 2$, мнимая часть $b = -2$. Найдем модуль числа: $$ |z| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$ Найдем угол $\varphi$: $$ \begin{cases} \cos \varphi = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin \varphi = -\dfrac{2}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases} $$ Точка $(2; -2)$ расположена в IV координатной четверти, значит, $\varphi = -\dfrac{\pi}{4}$ (или $\dfrac{7\pi}{4}$). Все аргументы: $$ \operatorname{Arg} z = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 8) $z = -1 - \sqrt{3}i$ Действительная часть $a = -1$, мнимая часть $b = -\sqrt{3}$. Найдем модуль числа: $$ |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 $$ Найдем угол $\varphi$: $$ \begin{cases} \cos \varphi = -\dfrac{1}{2}, \\ \sin \varphi = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases} $$ Точка $(-1; -\sqrt{3})$ расположена в III координатной четверти, значит, $\varphi = -\pi + \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{2\pi}{3}$ (или $\dfrac{4\pi}{3}$). Все аргументы: $$ \operatorname{Arg} z = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$