ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 627

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: $$ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) $$ где $r = |z| > 0$ — модуль комплексного числа, $\varphi = \operatorname{arg} z$ — его аргумент. 1) Задано число: $$ z = \cos \frac{\pi}{9} - i \sin \frac{\pi}{9} $$ Модуль числа $r = 1$. Для приведения к стандартному виду используем свойства чётности косинуса и нечётности синуса: $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ и $-\sin \alpha = \sin(-\alpha)$. $$ \cos \frac{\pi}{9} - i \sin \frac{\pi}{9} = \cos \left( -\frac{\pi}{9} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{9} \right) $$ При желании записать аргумент из промежутка $[0; 2\pi)$ используем угол $\varphi = 2\pi - \frac{\pi}{9} = \frac{17\pi}{9}$: $$ z = \cos \frac{17\pi}{9} + i \sin \frac{17\pi}{9} $$ **Ответ:** $\cos \left( -\frac{\pi}{9} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{9} \right)$ (или $\cos \frac{17\pi}{9} + i \sin \frac{17\pi}{9}$). --- 2) Задано число: $$ z = 12 \left( -\cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8} \right) $$ Модуль числа $r = 12$. Для изменения знака перед косинусом применим формулы приведения для второй четверти: $$ -\cos \alpha = \cos(\pi - \alpha), \quad \sin \alpha = \sin(\pi - \alpha) $$ Положим $\alpha = \frac{\pi}{8}$: $$ \varphi = \pi - \frac{\pi}{8} = \frac{7\pi}{8} $$ Тогда: $$ z = 12 \left( \cos \frac{7\pi}{8} + i \sin \frac{7\pi}{8} \right) $$ **Ответ:** $12 \left( \cos \frac{7\pi}{8} + i \sin \frac{7\pi}{8} \right)$. --- 3) Задано число: $$ z = \sqrt{2} \left( -\cos \frac{\pi}{7} - i \sin \frac{\pi}{7} \right) $$ Модуль числа $r = \sqrt{2}$. Применим формулы приведения: $$ -\cos \alpha = \cos(\pi + \alpha), \quad -\sin \alpha = \sin(\pi + \alpha) $$ Положим $\alpha = \frac{\pi}{7}$: $$ \varphi = \pi + \frac{\pi}{7} = \frac{8\pi}{7} $$ (или через главное значение аргумента $\left.\varphi = \frac{\pi}{7} - \pi = -\frac{6\pi}{7}\right)$. Получаем: $$ z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{8\pi}{7} + i \sin \frac{8\pi}{7} \right) $$ **Ответ:** $\sqrt{2} \left( \cos \frac{8\pi}{7} + i \sin \frac{8\pi}{7} \right)$ (или $\sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{6\pi}{7}\right) + i \sin\left(-\frac{6\pi}{7}\right) \right)$). --- 4) Задано число: $$ z = 3 \left( \sin \frac{\pi}{5} + i \cos \frac{\pi}{5} \right) $$ Модуль числа $r = 3$. Чтобы поменять синус и косинус местами, воспользуемся формулами приведения: $$ \sin \alpha = \cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right), \quad \cos \alpha = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) $$ Положим $\alpha = \frac{\pi}{5}$: $$ \varphi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi - 2\pi}{10} = \frac{3\pi}{10} $$ Следовательно: $$ z = 3 \left( \cos \frac{3\pi}{10} + i \sin \frac{3\pi}{10} \right) $$ **Ответ:** $3 \left( \cos \frac{3\pi}{10} + i \sin \frac{3\pi}{10} \right)$.