ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 621

1) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} |z + 1| = |z + 2|, \\ |3z + 9| = |5z + 10i|. \end{cases} $$ Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Рассмотрим первое уравнение системы: $$ |z + 1| = |z + 2| $$ Подставим $z = x + iy$: $$ |(x + 1) + iy| = |(x + 2) + iy| $$ По формуле модуля комплексного числа $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$, возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (x + 1)^2 + y^2 = (x + 2)^2 + y^2 $$ Раскроем скобки и упростим: $$ x^2 + 2x + 1 + y^2 = x^2 + 4x + 4 + y^2 $$ $$ 2x + 1 = 4x + 4 $$ $$ 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2} $$ Рассмотрим второе уравнение системы, вынеся общие множители из-под знака модуля: $$ |3(z + 3)| = |5(z + 2i)| $$ $$ 3|z + 3| = 5|z + 2i| $$ Подставим найденное значение $x = -\frac{3}{2}$: $$ z + 3 = -\frac{3}{2} + iy + 3 = \frac{3}{2} + iy $$ $$ z + 2i = -\frac{3}{2} + iy + 2i = -\frac{3}{2} + i(y + 2) $$ Возведём обе части уравнения $3|z + 3| = 5|z + 2i|$ в квадрат: $$ 9|z + 3|^2 = 25|z + 2i|^2 $$ $$ 9\left(\left(\frac{3}{2}\right)^2 + y^2\right) = 25\left(\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + (y + 2)^2\right) $$ $$ 9\left(\frac{9}{4} + y^2\right) = 25\left(\frac{9}{4} + y^2 + 4y + 4\right) $$ $$ \frac{81}{4} + 9y^2 = \frac{225}{4} + 25y^2 + 100y + 100 $$ Перенесём все члены в правую часть: $$ 16y^2 + 100y + \left(\frac{225}{4} - \frac{81}{4}\right) + 100 = 0 $$ $$ 16y^2 + 100y + \frac{144}{4} + 100 = 0 $$ $$ 16y^2 + 100y + 36 + 100 = 0 $$ $$ 16y^2 + 100y + 136 = 0 $$ Разделим обе части на $4$: $$ 4y^2 + 25y + 34 = 0 $$ Найдём корни через дискриминант: $$ D = 25^2 - 4 \cdot 4 \cdot 34 = 625 - 544 = 81 = 9^2 $$ $$ y_1 = \frac{-25 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2 $$ $$ y_2 = \frac{-25 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-34}{8} = -\frac{17}{4} $$ Таким образом, получаем два решения: $z_1 = -\frac{3}{2} - 2i$, $z_2 = -\frac{3}{2} - \frac{17}{4}i$. --- 2) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} (1 - i)\bar{z} = (1 + i)z, \\ |z^2 + 51i| = 1. \end{cases} $$ Пусть $z = x + iy$, тогда $\bar{z} = x - iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Рассмотрим первое уравнение: $$ (1 - i)(x - iy) = (1 + i)(x + iy) $$ Раскроем скобки в обеих частях уравнения (учитывая, что $i^2 = -1$): $$ x - iy - ix + i^2 y = x + iy + ix + i^2 y $$ $$ (x - y) - i(x + y) = (x - y) + i(x + y) $$ Приведём подобные слагаемые: $$ -2i(x + y) = 0 \implies x + y = 0 \implies y = -x $$ Следовательно, число $z$ можно записать в виде: $$ z = x - ix = x(1 - i) $$ Возведём $z$ в квадрат: $$ z^2 = (x(1 - i))^2 = x^2(1 - 2i + i^2) = x^2(1 - 2i - 1) = -2x^2 i $$ Подставим полученное выражение для $z^2$ во второе уравнение системы: $$ |-2x^2 i + 51i| = 1 $$ $$ |(-2x^2 + 51)i| = 1 $$ Так как $|i| = 1$, а выражение $-2x^2 + 51$ действительно, получаем: $$ |51 - 2x^2| = 1 $$ Это уравнение распадается на два случая: 1. $51 - 2x^2 = 1$ $$ 2x^2 = 50 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5 $$ Если $x = 5$, то $y = -5 \implies z_1 = 5 - 5i$. Если $x = -5$, то $y = 5 \implies z_2 = -5 + 5i$. 2. $51 - 2x^2 = -1$ $$ 2x^2 = 52 \implies x^2 = 26 \implies x = \pm \sqrt{26} $$ Если $x = \sqrt{26}$, то $y = -\sqrt{26} \implies z_3 = \sqrt{26} - \sqrt{26}i$. Если $x = -\sqrt{26}$, то $y = \sqrt{26} \implies z_4 = -\sqrt{26} + \sqrt{26}i$. --- Ответ: 1) $z_1 = -\frac{3}{2} - 2i$, $z_2 = -\frac{3}{2} - \frac{17}{4}i$; 2) $z_1 = 5 - 5i$, $z_2 = -5 + 5i$, $z_3 = \sqrt{26} - \sqrt{26}i$, $z_4 = -\sqrt{26} + \sqrt{26}i$.