ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 626

Комплексное число, заданное в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, приводится к алгебраической форме $z = a + bi$ путём вычисления значений тригонометрических функций $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$ и раскрытия скобок. 1) Вычислим значения тригонометрических функций для аргумента $\frac{5\pi}{3}$: $$ \cos \frac{5\pi}{3} = \cos \left( 2\pi - \frac{\pi}{3} \right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $$ $$ \sin \frac{5\pi}{3} = \sin \left( 2\pi - \frac{\pi}{3} \right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ Подставим найденные значения в исходное выражение: $$ \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i $$ Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$. --- 2) Вычислим значения косинуса и синуса для угла $2\pi$: $$ \cos 2\pi = 1, \quad \sin 2\pi = 0 $$ Подставим их и раскроем скобки: $$ 3(\cos 2\pi + i \sin 2\pi) = 3(1 + i \cdot 0) = 3 $$ Ответ: $3$. --- 3) Вычислим значения косинуса и синуса для аргумента $\frac{3\pi}{4}$: $$ \cos \frac{3\pi}{4} = \cos \left( \pi - \frac{\pi}{4} \right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \sin \frac{3\pi}{4} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Умножим полученные значения на модуль $\sqrt{2}$: $$ \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{2}{2} + i \frac{2}{2} = -1 + i $$ Ответ: $-1 + i$. --- 4) Выделим целое число периодов у аргумента $\frac{9\pi}{2}$: $$ \frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} $$ Так как период функций косинуса и синуса равен $2\pi$, имеем: $$ \cos \frac{9\pi}{2} = \cos \left( 4\pi + \frac{\pi}{2} \right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0 $$ $$ \sin \frac{9\pi}{2} = \sin \left( 4\pi + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1 $$ Подставим значения и перемножим: $$ 4 \left( \cos \frac{9\pi}{2} + i \sin \frac{9\pi}{2} \right) = 4(0 + i \cdot 1) = 4i $$ Ответ: $4i$. --- 5) Применим формулы приведения для аргумента $\frac{7\pi}{6}$: $$ \cos \frac{7\pi}{6} = \cos \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ \sin \frac{7\pi}{6} = \sin \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} $$ Подставим эти значения: $$ \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i $$ Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$. --- 6) Выделим полные обороты у аргумента $\frac{13\pi}{3}$: $$ \frac{13\pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3} $$ Используя периодичность тригонометрических функций, получаем: $$ \cos \frac{13\pi}{3} = \cos \left( 4\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $$ $$ \sin \frac{13\pi}{3} = \sin \left( 4\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Подставим найденные значения: $$ \cos \frac{13\pi}{3} + i \sin \frac{13\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $$ Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.