ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 625

Тригонометрическая форма комплексного числа $z = a + bi$ имеет вид: $$ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) $$ где $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ — модуль числа ($r > 0$), а аргумент $\varphi$ определяется из условий $\cos \varphi = \frac{a}{r}$, $\sin \varphi = \frac{b}{r}$. --- ### 1) $z = 3$ Действительная и мнимая части: $a = 3$, $b = 0$. 1. Модуль числа: $$ r = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3 $$ 2. Аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{3}{3} = 1, \quad \sin \varphi = \frac{0}{3} = 0 \implies \varphi = 0 $$ Запишем число в тригонометрической форме: $$ z = 3(\cos 0 + i \sin 0) $$ --- ### 2) $z = -1$ Действительная и мнимая части: $a = -1$, $b = 0$. 1. Модуль числа: $$ r = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1 $$ 2. Аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{-1}{1} = -1, \quad \sin \varphi = \frac{0}{1} = 0 \implies \varphi = \pi $$ Запишем число в тригонометрической форме: $$ z = \cos \pi + i \sin \pi $$ --- ### 3) $z = 3 + 3i$ Действительная и мнимая части: $a = 3$, $b = 3$. 1. Модуль числа: $$ r = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$ 2. Аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Так как $a > 0$ и $b > 0$, точка лежит в I координатной четверти: $\varphi = \frac{\pi}{4}$. Запишем число в тригонометрической форме: $$ z = 3\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) $$ --- ### 4) $z = -2 + 2\sqrt{3}i$ Действительная и мнимая части: $a = -2$, $b = 2\sqrt{3}$. 1. Модуль числа: $$ r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 $$ 2. Аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Так как $a < 0$ и $b > 0$, точка лежит во II координатной четверти: $\varphi = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Запишем число в тригонометрической форме: $$ z = 4 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) $$ --- ### 5) $z = -1 - \sqrt{3}i$ Действительная и мнимая части: $a = -1$, $b = -\sqrt{3}$. 1. Модуль числа: $$ r = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 $$ 2. Аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = -\frac{1}{2}, \quad \sin \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ Так как $a < 0$ и $b < 0$, точка лежит в III координатной четверти: $\varphi = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ (или $\varphi = -\frac{2\pi}{3}$). Запишем число в тригонометрической форме: $$ z = 2 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) $$ --- ### 6) $z = 5 - 5i$ Действительная и мнимая части: $a = 5$, $b = -5$. 1. Модуль числа: $$ r = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $$ 2. Аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Так как $a > 0$ и $b < 0$, точка лежит в IV координатной четверти: $\varphi = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ (или $\varphi = -\frac{\pi}{4}$). Запишем число в тригонометрической форме: $$ z = 5\sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right) $$ --- ### 7) $z = \sqrt{5} \left( \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} \right)$ Данное выражение отличается от тригонометрической формы знаком «минус» перед синусом. Используем свойства четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ и нечетности синуса $-\sin \alpha = \sin(-\alpha)$: $$ \cos \frac{\pi}{3} = \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right), \quad -\sin \frac{\pi}{3} = \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) $$ Тогда аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{3}$ (или в интервале $[0; 2\pi)$: $\varphi = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$). Запишем число в тригонометрической форме: $$ z = \sqrt{5} \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) $$ *(или $z = \sqrt{5} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \right)$)* --- ### 8) $z = -\cos \frac{\pi}{7} - i \sin \frac{\pi}{7}$ Модуль числа равен $r = 1$. Для приведения знаков используем формулы приведения: $-\cos \alpha = \cos(\pi + \alpha)$ и $-\sin \alpha = \sin(\pi + \alpha)$. При $\alpha = \frac{\pi}{7}$: $$ \varphi = \pi + \frac{\pi}{7} = \frac{8\pi}{7} $$ Запишем число в тригонометрической форме: $$ z = \cos \frac{8\pi}{7} + i \sin \frac{8\pi}{7} $$