ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 622

Рассмотрим геометрический смысл уравнений в поле комплексных чисел. Уравнение вида $|z - z_0| = R$ задает на комплексной плоскости окружность с центром в точке $z_0$ и радиусом $R$. 1. Первое уравнение системы: $$ |z + 1 - i| = \sqrt{2} $$ Запишем его в виде $|z - (-1 + i)| = \sqrt{2}$. Оно задает окружность с центром в точке $z_1 = -1 + i$ и радиусом $R_1 = \sqrt{2}$. 2. Второе уравнение системы: $$ |z| = 3 $$ Запишем его в виде $|z - 0| = 3$. Оно задает окружность с центром в начале координат $z_2 = 0$ и радиусом $R_2 = 3$. 3. Найдем расстояние $d$ между центрами этих окружностей: $$ d = |z_1 - z_2| = |-1 + i - 0| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$ 4. Исследуем взаимное расположение окружностей. Сравним сумму расстояния между центрами и меньшего радиуса с большим радиусом: $$ d + R_1 = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} = \sqrt{8} $$ Так как $\sqrt{8} < \sqrt{9} = 3$, то: $$ d + R_1 < R_2 $$ Это означает, что первая окружность целиком лежит внутри второй окружности и не касается ее. *(Аналитическое обоснование через неравенство треугольника)*: Для любого комплексного числа $z$, удовлетворяющего первому уравнению, выполнено: $$ |z| = |(z + 1 - i) - (1 - i)| \le |z + 1 - i| + |1 - i| = \sqrt{2} + \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} $$ Поскольку $2\sqrt{2} = \sqrt{8} < 3$, для любых точек первой окружности значение $|z| \le 2\sqrt{2} < 3$, следовательно, равенство $|z| = 3$ одновременно выполняться не может. Таким образом, окружности не имеют общих точек, а значит, система уравнений не имеет решений, что и требовалось доказать.