ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 623

Дана система уравнений относительно комплексной переменной $z$: $$ \begin{cases} \left| \dfrac{z-4}{z-8} \right| - 1 = 0, \\ \left| \dfrac{z-12}{z-8i} \right| = \dfrac{5}{3}. \end{cases} $$ ### Решение 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $$z \ne 8, \quad z \ne 8i$$ 2. **Преобразование уравнений:** Используем свойство модуля комплексного числа: модуль частного равен частному модулей, то есть $\left| \dfrac{z_1}{z_2} \right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$. Перенесём единицу в правую часть первого уравнения: $$\left| \frac{z-4}{z-8} \right| = 1 \iff \frac{|z-4|}{|z-8|} = 1 \iff |z - 4| = |z - 8|$$ Второе уравнение приведём к виду: $$\frac{|z-12|}{|z-8i|} = \frac{5}{3} \iff 3|z - 12| = 5|z - 8i|$$ Получаем равносильную систему: $$ \begin{cases} |z - 4| = |z - 8|, \\ 3|z - 12| = 5|z - 8i|. \end{cases} $$ 3. **Алгебраическая форма записи:** Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Подставим $z$ в первое уравнение: $$|(x - 4) + iy| = |(x - 8) + iy|$$ По формуле модуля комплексного числа $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$: $$\sqrt{(x - 4)^2 + y^2} = \sqrt{(x - 8)^2 + y^2}$$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$(x - 4)^2 + y^2 = (x - 8)^2 + y^2$$ Раскроем скобки и упростим: $$x^2 - 8x + 16 + y^2 = x^2 - 16x + 64 + y^2$$ $$-8x + 16 = -16x + 64$$ $$8x = 48$$ $$x = 6$$ 4. **Нахождение $y$ из второго уравнения:** Подставим $x = 6$ во второе уравнение: $$3|(6 - 12) + iy| = 5|6 + i(y - 8)|$$ $$3|-6 + iy| = 5|6 + i(y - 8)|$$ Запишем модули через действительную и мнимую части: $$3\sqrt{(-6)^2 + y^2} = 5\sqrt{6^2 + (y - 8)^2}$$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$9(36 + y^2) = 25(36 + (y - 8)^2)$$ $$324 + 9y^2 = 25(36 + y^2 - 16y + 64)$$ $$324 + 9y^2 = 25(y^2 - 16y + 100)$$ $$324 + 9y^2 = 25y^2 - 400y + 2500$$ Перенесём все члены в правую часть: $$16y^2 - 400y + 2176 = 0$$ Разделим обе части уравнения на $16$: $$y^2 - 25y + 136 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 136 = 625 - 544 = 81 = 9^2$$ $$y_1 = \frac{25 - 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$y_2 = \frac{25 + 9}{2} = \frac{34}{2} = 17$$ 5. **Запись решений:** При $x = 6$ получаем: $$z_1 = 6 + 8i$$ $$z_2 = 6 + 17i$$ Оба найденных значения удовлетворяют условиям ОДЗ ($z \ne 8$ и $z \ne 8i$). Ответ: $z_1 = 6 + 8i$, $z_2 = 6 + 17i$.