ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 620

Геометрический смысл выражения $|z - z_0|$ — это расстояние между точками $z$ и $z_0$ на комплексной плоскости. **1)** $|z - i| < 3$ Перепишем неравенство в виде $|z - z_0| < R$, где $z_0 = i$, $R = 3$. Точка $z_0 = i$ на комплексной плоскости имеет координаты $(0; 1)$. Неравенство $|z - i| < 3$ задаёт множество всех точек, расстояние от которых до точки $(0; 1)$ строго меньше $3$. **Ответ:** внутренняя область круга с центром в точке $(0; 1)$ (то есть $z_0 = i$) радиуса $R = 3$, не включая саму граничную окружность. --- **2)** $|z + 3i| > 4$ Представим условие в виде: $$ |z - (-3i)| > 4 $$ Здесь $z_0 = -3i$, что соответствует точке с координатами $(0; -3)$ на комплексной плоскости, а $R = 4$. Неравенство означает, что расстояние от точки $z$ до точки $(0; -3)$ строго больше $4$. **Ответ:** множество точек комплексной плоскости, лежащих вне круга с центром в точке $(0; -3)$ (то есть $z_0 = -3i$) радиуса $R = 4$, не включая саму граничную окружность. --- **3)** $1 < |z + 2| < 2$ Запишем двойное неравенство через расстояние от точки $z$ до точки $z_0$: $$ 1 < |z - (-2)| < 2 $$ Здесь $z_0 = -2$, что соответствует точке $(-2; 0)$ на действительной оси комплексной плоскости. Это условие означает, что расстояние от точки $z$ до точки $(-2; 0)$ больше $1$, но меньше $2$. **Ответ:** открытое круговое кольцо (без граничных окружностей) с центром в точке $(-2; 0)$ (то есть $z_0 = -2$), внутренним радиусом $r = 1$ и внешним радиусом $R = 2$. --- **4)** $2 \leq |z - 5i| \leq 3$ Здесь $z_0 = 5i$, что соответствует точке с координатами $(0; 5)$ на мнимой оси комплексной плоскости. Двойное неравенство означает, что расстояние от точки $z$ до точки $(0; 5)$ не меньше $2$ и не больше $3$. Поскольку знаки неравенства нестрогие, границы входят в искомое множество. **Ответ:** замкнутое круговое кольцо (включая обе граничные окружности) с центром в точке $(0; 5)$ (то есть $z_0 = 5i$), внутренним радиусом $r = 2$ и внешним радиусом $R = 3$.