ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 26 - 26.21

1) $(4 - i)i + (7 - 2i)(3 + i)$ Раскроем скобки, учитывая, что $i^2 = -1$: $$ (4 - i)i = 4i - i^2 = 4i - (-1) = 4i + 1 = 1 + 4i $$ $$ (7 - 2i)(3 + i) = 21 + 7i - 6i - 2i^2 = 21 + i - 2(-1) = 21 + i + 2 = 23 + i $$ Сложим полученные выражения: $$ (1 + 4i) + (23 + i) = (1 + 23) + (4i + i) = 24 + 5i $$ Ответ: $24 + 5i$. --- 2) $\left(1 - \sqrt{2}i\right)\left(1 + \sqrt{2}i\right) + (1 + i)^2$ Применим формулы разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ и квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ \left(1 - \sqrt{2}i\right)\left(1 + \sqrt{2}i\right) = 1^2 - (\sqrt{2}i)^2 = 1 - 2i^2 = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 $$ $$ (1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i $$ Сложим результаты: $$ 3 + 2i $$ Ответ: $3 + 2i$. --- 3) $(1 - i)^4$ Представим четвёртую степень как квадрат квадрата: $$ (1 - i)^4 = \left((1 - i)^2\right)^2 $$ Возведём выражение в квадрат по формуле квадрата разности: $$ (1 - i)^2 = 1^2 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i $$ Теперь возведём полученное число в квадрат: $$ (-2i)^2 = (-2)^2 \cdot i^2 = 4 \cdot (-1) = -4 $$ Ответ: $-4$. --- 4) $\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3$ Воспользуемся формулой куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, где $a = -\frac{1}{2}$, $b = \frac{\sqrt{3}}{2}i$: $$ a^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8} $$ $$ 3a^2b = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i = \frac{3\sqrt{3}}{8}i $$ $$ 3ab^2 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^2 = -\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{3}{4}i^2\right) = -\frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{9}{8} $$ $$ b^3 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8}i^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8}(-i) = -\frac{3\sqrt{3}}{8}i $$ Сложим все слагаемые: $$ \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3 = -\frac{1}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8}i + \frac{9}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{8}i = -\frac{1}{8} + \frac{9}{8} = \frac{8}{8} = 1 $$ Ответ: $1$.