ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 26 - 26.20

1) Раскроем скобки, учитывая, что $i^2 = -1$: $$ (2 + i)(1 - i) = 2 - 2i + i - i^2 = 2 - i - (-1) = 3 - i $$ $$ i(4 - 5i) = 4i - 5i^2 = 4i - 5(-1) = 5 + 4i $$ Сложим полученные результаты: $$ (2 + i)(1 - i) + i(4 - 5i) = (3 - i) + (5 + 4i) = (3 + 5) + (-1 + 4)i = 8 + 3i $$ 2) Применим формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ для первого слагаемого и формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для второго: $$ (\sqrt{5} + 2i)(\sqrt{5} - 2i) = (\sqrt{5})^2 - (2i)^2 = 5 - 4i^2 = 5 - 4(-1) = 5 + 4 = 9 $$ $$ (1 - i)^2 = 1^2 - 2i + i^2 = 1 - 2i + (-1) = -2i $$ Сложим полученные выражения: $$ (\sqrt{5} + 2i)(\sqrt{5} - 2i) + (1 - i)^2 = 9 + (-2i) = 9 - 2i $$ 3) Представим выражение в виде квадрата от квадрата: $$ (1 + i)^4 = \left((1 + i)^2\right)^2 $$ Вычислим выражение в скобках: $$ (1 + i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i + (-1) = 2i $$ Возведём полученный результат во вторую степень: $$ (2i)^2 = 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4 $$ 4) Вычислим куб числа поэтапно. Сначала найдём квадрат выражения: $$ \left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}i\right) + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{3}{4}i^2 $$ Так как $i^2 = -1$: $$ \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $$ Теперь умножим полученный квадрат на исходное выражение: $$ \left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3 = \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) $$ Применим формулу разности квадратов: $$ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}i^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}(-1) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 $$ Ответ: 1) $8 + 3i$; 2) $9 - 2i$; 3) $-4$; 4) $1$.