ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 26 - 26.23

Пусть искомое комплексное число имеет вид $z = x + yi$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда: $$ z^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi $$ **1) $z^2 = -i$** Запишем равенство комплексных чисел: $$ (x^2 - y^2) + 2xyi = 0 - 1i $$ Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0, \\ 2xy = -1. \end{cases} $$ Из первого уравнения $x^2 = y^2$, откуда $y = x$ или $y = -x$. 1. Если $y = x$, то подставим во второе уравнение: $$ 2x^2 = -1 \implies x^2 = -\frac{1}{2} $$ Так как $x \in \mathbb{R}$, это уравнение не имеет действительных решений. 2. Если $y = -x$, то подставим во второе уравнение: $$ 2x(-x) = -1 \implies -2x^2 = -1 \implies x^2 = \frac{1}{2} $$ Отсюда: $$ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Найдём соответствующие значения $y$: * при $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $y_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$; * при $x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $y_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$. **2) $z^2 = 15 - 8i$** Запишем равенство комплексных чисел: $$ (x^2 - y^2) + 2xyi = 15 - 8i $$ Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 15, \\ 2xy = -8. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = -\frac{4}{x} \quad (x \neq 0) $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ x^2 - \left(-\frac{4}{x}\right)^2 = 15 $$ $$ x^2 - \frac{16}{x^2} = 15 $$ Умножим обе части уравнения на $x^2$: $$ x^4 - 15x^2 - 16 = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. $$ t^2 - 15t - 16 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 16, \quad t_2 = -1 $$ Значение $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Вернёмся к переменной $x$: $$ x^2 = 16 \implies x = \pm 4 $$ Найдём соответствующие значения $y$: * при $x_1 = 4$: $y_1 = -\frac{4}{4} = -1$, следовательно, $z_1 = 4 - i$; * при $x_2 = -4$: $y_2 = -\frac{4}{-4} = 1$, следовательно, $z_2 = -4 + i$. **Ответ:** 1) $\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$; $-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$. 2) $4 - i$; $-4 + i$.