ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 26 - 26.22

**1)** $z^2 = i$ Пусть искомое комплексное число имеет вид $z = x + yi$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Возведём $z$ в квадрат: $$ z^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi $$ Подставим это выражение в исходное уравнение: $$ x^2 - y^2 + 2xyi = 0 + 1 \cdot i $$ Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0, \\ 2xy = 1 \end{cases} $$ Из первого уравнения системы следует: $$ x^2 = y^2 \iff y = x \quad \text{или} \quad y = -x $$ Рассмотрим оба случая: 1. Если $y = x$, то подставим во второе уравнение: $$ 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Так как $y = x$: * при $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ получаем $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то есть $z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$; * при $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ получаем $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то есть $z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$. 2. Если $y = -x$, то подставим во второе уравнение: $$ 2x(-x) = 1 \implies -2x^2 = 1 \implies x^2 = -\frac{1}{2} $$ Так как $x \in \mathbb{R}$, квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, в этом случае решений нет. Итог: $z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$, $z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$. --- **2)** $z^2 = -5 + 12i$ Пусть $z = x + yi$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда: $$ z^2 = x^2 - y^2 + 2xyi $$ Приравняем к правой части уравнения: $$ x^2 - y^2 + 2xyi = -5 + 12i $$ Составим систему уравнений, приравнивая действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = -5, \\ 2xy = 12 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$ через $x$ (заметим, что $x \neq 0$): $$ xy = 6 \implies y = \frac{6}{x} $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ x^2 - \left(\frac{6}{x}\right)^2 = -5 $$ $$ x^2 - \frac{36}{x^2} = -5 $$ Умножим обе части уравнения на $x^2 \neq 0$: $$ x^4 + 5x^2 - 36 = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, причём $t \ge 0$, так как $x \in \mathbb{R}$. $$ t^2 + 5t - 36 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 4, \quad t_2 = -9 $$ Корень $t_2 = -9$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Возвращаемся к переменной $x$: $$ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 $$ Найдём соответствующие значения $y = \frac{6}{x}$: * если $x = 2$, то $y = \frac{6}{2} = 3$, откуда $z_1 = 2 + 3i$; * если $x = -2$, то $y = \frac{6}{-2} = -3$, откуда $z_2 = -2 - 3i$. Итог: $z_1 = 2 + 3i$, $z_2 = -2 - 3i$. --- **Ответ:** 1) $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$; $-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$ 2) $2 + 3i$; $-2 - 3i$