ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 26 - 26.19

Напомним основные свойства степеней мнимой единицы $i$: $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$. Поэтому для любого натурального числа $k$ выполняется: $$ i^{4k} = (i^4)^k = 1^k = 1 $$ **1)** Найдем значение $i^{54}$. Представим показатель степени в виде $54 = 4 \cdot 13 + 2$: $$ i^{54} = i^{4 \cdot 13 + 2} = (i^4)^{13} \cdot i^2 = 1^{13} \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1 $$ **2)** Найдем значение $i^{4n}$, где $n \in \mathbb{N}$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ i^{4n} = (i^4)^n = 1^n = 1 $$ **3)** Найдем значение $i^{4n+1}$, где $n \in \mathbb{N}$. Используя свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$: $$ i^{4n+1} = i^{4n} \cdot i^1 = (i^4)^n \cdot i = 1^n \cdot i = 1 \cdot i = i $$ **Ответ:** 1) $-1$; 2) $1$; 3) $i$.