ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 26 - 26.24

1) Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $i$ (учитывая, что $i^2 = -1$): $$ \frac{-1}{i} = \frac{-1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{-i}{i^2} = \frac{-i}{-1} = i $$ Ответ: $i$. 2) Умножим числитель и знаменатель на $i$: $$ \frac{2 + i}{-i} = \frac{(2 + i) \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{2i + i^2}{-i^2} = \frac{2i - 1}{-(-1)} = \frac{-1 + 2i}{1} = -1 + 2i $$ Ответ: $-1 + 2i$. 3) Умножим числитель и знаменатель на число $2 + i$, сопряжённое знаменателю: $$ \frac{4}{2 - i} = \frac{4(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{8 + 4i}{2^2 - i^2} = \frac{8 + 4i}{4 - (-1)} = \frac{8 + 4i}{5} = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i $$ Ответ: $\frac{8}{5} + \frac{4}{5}i$ (или $1{,}6 + 0{,}8i$). 4) Умножим числитель и знаменатель на число $1 - 2i$, сопряжённое знаменателю: $$ \frac{3i}{1 + 2i} = \frac{3i(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{3i - 6i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{3i - 6(-1)}{1 - 4(-1)} = \frac{6 + 3i}{1 + 4} = \frac{6 + 3i}{5} = \frac{6}{5} + \frac{3}{5}i $$ Ответ: $\frac{6}{5} + \frac{3}{5}i$ (или $1{,}2 + 0{,}6i$). 5) Умножим числитель и знаменатель на число $2 - 3i$, сопряжённое знаменателю: $$ \frac{1 + 4i}{2 + 3i} = \frac{(1 + 4i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{2 - 3i + 8i - 12i^2}{2^2 - (3i)^2} = \frac{2 + 5i - 12(-1)}{4 - 9(-1)} = \frac{2 + 5i + 12}{4 + 9} = \frac{14 + 5i}{13} = \frac{14}{13} + \frac{5}{13}i $$ Ответ: $\frac{14}{13} + \frac{5}{13}i$. 6) Умножим числитель и знаменатель на число $3 + 4i$, сопряжённое знаменателю: $$ \frac{3 + 4i}{3 - 4i} = \frac{(3 + 4i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} = \frac{(3 + 4i)^2}{3^2 - (4i)^2} = \frac{9 + 2 \cdot 3 \cdot 4i + 16i^2}{9 - 16(-1)} = \frac{9 + 24i - 16}{9 + 16} = \frac{-7 + 24i}{25} = -\frac{7}{25} + \frac{24}{25}i $$ Ответ: $-\frac{7}{25} + \frac{24}{25}i$ (или $-0{,}28 + 0{,}96i$).