ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 25 - 25.23

Пусть случайная величина $X$ — количество забитых мячей в серии из пяти пенальти. Каждый удар является независимым испытанием, в котором успех (гол) наступает с вероятностью $p$, а неудача (промах) — с вероятностью $q = 1 - p$. Число испытаний $n = 5$. Случайная величина $X$ может принимать значения $0, 1, 2, 3, 4, 5$. Вероятности этих значений определяются по формуле Бернулли: $$ P(X = k) = C_n^k p^k (1 - p)^{n - k} $$ 1) Найдём вероятности для каждого значения $k$: - при $k = 0$: $$ P(X = 0) = C_5^0 p^0 (1 - p)^5 = (1 - p)^5 $$ - при $k = 1$: $$ P(X = 1) = C_5^1 p^1 (1 - p)^4 = 5p(1 - p)^4 $$ - при $k = 2$: $$ P(X = 2) = C_5^2 p^2 (1 - p)^3 = 10p^2(1 - p)^3 $$ - при $k = 3$: $$ P(X = 3) = C_5^3 p^3 (1 - p)^2 = 10p^3(1 - p)^2 $$ - при $k = 4$: $$ P(X = 4) = C_5^4 p^4 (1 - p)^1 = 5p^4(1 - p) $$ - при $k = 5$: $$ P(X = 5) = C_5^5 p^5 (1 - p)^0 = p^5 $$ Таблица распределения вероятностей случайной величины $X$: | $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $(1 - p)^5$ | $5p(1 - p)^4$ | $10p^2(1 - p)^3$ | $10p^3(1 - p)^2$ | $5p^4(1 - p)$ | $p^5$ | 2) Вычислим значения вероятностей при $p = 0{,}8$ и $1 - p = 0{,}2$, округляя с точностью до $1\,\%$ (то есть до сотых долей): - $P(X = 0) = 0{,}2^5 = 0{,}00032 \approx 0{,}00$ ($0\,\%$) - $P(X = 1) = 5 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2^4 = 4 \cdot 0{,}0016 = 0{,}0064 \approx 0{,}01$ ($1\,\%$) - $P(X = 2) = 10 \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}2^3 = 10 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}008 = 0{,}0512 \approx 0{,}05$ ($5\,\%$) - $P(X = 3) = 10 \cdot 0{,}8^3 \cdot 0{,}2^2 = 10 \cdot 0{,}512 \cdot 0{,}04 = 0{,}2048 \approx 0{,}20$ ($20\,\%$) - $P(X = 4) = 5 \cdot 0{,}8^4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8^4 = 0{,}4096 \approx 0{,}41$ ($41\,\%$) - $P(X = 5) = 0{,}8^5 = 0{,}32768 \approx 0{,}33$ ($33\,\%$) Проверка суммы вероятностей: $$ 0{,}00 + 0{,}01 + 0{,}05 + 0{,}20 + 0{,}41 + 0{,}33 = 1{,}00 $$ Таблица приближённого распределения: | $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $0{,}00$ | $0{,}01$ | $0{,}05$ | $0{,}20$ | $0{,}41$ | $0{,}33$ | 3) По определению математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех её возможных значений на соответствующие вероятности: $$ M(X) = \sum_{k=0}^{5} k \cdot P(X = k) $$ Используя полученные приближённые значения вероятностей, находим: $$ M(X) = 0 \cdot 0{,}00 + 1 \cdot 0{,}01 + 2 \cdot 0{,}05 + 3 \cdot 0{,}20 + 4 \cdot 0{,}41 + 5 \cdot 0{,}33 $$ $$ M(X) = 0 + 0{,}01 + 0{,}10 + 0{,}60 + 1{,}64 + 1{,}65 = 4 $$ Таким образом, математическое ожидание количества забитых мячей равно $4$. 4) В серии из $n = 20$ независимых ударов математическое ожидание числа забитых мячей (успехов в схеме Бернулли) находится по формуле: $$ M = n \cdot p $$ Подставим $n = 20$ и $p = 0{,}8$: $$ M = 20 \cdot 0{,}8 = 16 $$ Следовательно, в серии из 20 ударов следовало бы ожидать 16 забитых мячей.