ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 25 - 25.21

Пусть случайная величина $X$ — количество выпавших шестёрок при подбрасывании трёх игральных кубиков. Случайная величина $X$ может принимать значения $0, 1, 2, 3$. При бросании одного кубика вероятность выпадения шестёрки равна $p = \frac{1}{6}$, а вероятность невыпадения шестёрки равна $q = 1 - p = \frac{5}{6}$. Так как бросания кубиков независимы, вероятности значений $X$ найдём по формуле Бернулли $P(X = k) = C_n^k p^k q^{n-k}$ для $n = 3$: $$ P(X = 0) = C_3^0 \left(\frac{1}{6}\right)^0 \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{125}{216} = \frac{125}{216} $$ $$ P(X = 1) = C_3^1 \left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{25}{36} = \frac{75}{216} $$ $$ P(X = 2) = C_3^2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{216} $$ $$ P(X = 3) = C_3^3 \left(\frac{1}{6}\right)^3 \left(\frac{5}{6}\right)^0 = 1 \cdot \frac{1}{216} \cdot 1 = \frac{1}{216} $$ Составим закон распределения случайной величины $X$: | $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $\frac{125}{216}$ | $\frac{75}{216}$ | $\frac{15}{216}$ | $\frac{1}{216}$ | По определению математического ожидания дискретной случайной величины: $$ M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 p_4 $$ Вычислим значение $M(X)$: $$ M(X) = 0 \cdot \frac{125}{216} + 1 \cdot \frac{75}{216} + 2 \cdot \frac{15}{216} + 3 \cdot \frac{1}{216} $$ $$ M(X) = \frac{0 + 75 + 30 + 3}{216} = \frac{108}{216} = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ Ответ: $\frac{1}{2}$ (или $0{,}5$).