ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 25 - 25.24

Так как коробка большая, вероятность достать шоколадную конфету при каждом извлечении остаётся постоянной и равна $p = 30\,\% = 0{,}3$. Вероятность достать нешоколадную конфету: $q = 1 - p = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$. Случайная величина $X$ — количество шоколадных конфет среди 4 извлечённых. Она может принимать значения: $0, 1, 2, 3, 4$. Для нахождения вероятностей воспользуемся формулой Бернулли: $$ P(X = k) = C_n^k p^k q^{n-k} $$ где $n = 4$, $p = 0{,}3$, $q = 0{,}7$. **1)** Вычислим вероятности для каждого значения $X$: $P(X = 0) = C_4^0 \cdot (0{,}3)^0 \cdot (0{,}7)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}2401 = 0{,}2401$; $P(X = 1) = C_4^1 \cdot (0{,}3)^1 \cdot (0{,}7)^3 = 4 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}343 = 0{,}4116$; $P(X = 2) = C_4^2 \cdot (0{,}3)^2 \cdot (0{,}7)^2 = 6 \cdot 0{,}09 \cdot 0{,}49 = 0{,}2646$; $P(X = 3) = C_4^3 \cdot (0{,}3)^3 \cdot (0{,}7)^1 = 4 \cdot 0{,}027 \cdot 0{,}7 = 0{,}0756$; $P(X = 4) = C_4^4 \cdot (0{,}3)^4 \cdot (0{,}7)^0 = 1 \cdot 0{,}0081 \cdot 1 = 0{,}0081$. Проверка: $$ 0{,}2401 + 0{,}4116 + 0{,}2646 + 0{,}0756 + 0{,}0081 = 1 $$ Составим таблицу распределения вероятностей: | $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $0{,}2401$ | $0{,}4116$ | $0{,}2646$ | $0{,}0756$ | $0{,}0081$ |
**2)** По определению математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех её возможных значений на соответствующие им вероятности: $$ M(X) = \sum_{k=0}^{4} x_k \cdot P(X = x_k) $$ $$ M(X) = 0 \cdot 0{,}2401 + 1 \cdot 0{,}4116 + 2 \cdot 0{,}2646 + 3 \cdot 0{,}0756 + 4 \cdot 0{,}0081 $$ $$ M(X) = 0 + 0{,}4116 + 0{,}5292 + 0{,}2268 + 0{,}0324 = 1{,}2 $$
**3)** Если Карлсон достаёт $n = 50$ конфет, то количество шоколадных конфет распределено по биномиальному закону с параметрами $n = 50$ и $p = 0{,}3$. Математическое ожидание числа успехов в схеме Бернулли вычисляется по формуле: $$ M = n \cdot p $$ $$ M = 50 \cdot 0{,}3 = 15 $$ **Ответ:** 1) таблица распределения составлена; 2) $1{,}2$; 3) $15$.