ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 24 - 24.15

Пусть событие $A$ состоит в том, что из 25 врачей поликлиники в течение недели заболеет не менее 2 человек. Испытания удовлетворяют схеме Бернулли, где: - число независимых испытаний (врачей) $n = 25$; - вероятность «успеха» (врач заболеет) $p = 0{,}08$; - вероятность противоположного события (врач не заболеет) $q = 1 - p = 1 - 0{,}08 = 0{,}92$. Событие $A$ означает, что число заболевших врачей $k \ge 2$. Удобнее перейти к противоположному событию $\overline{A}$ — «заболеет менее двух врачей», то есть либо никто не заболеет ($k = 0$), либо заболеет ровно 1 врач ($k = 1$): $$ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - (P_{25}(0) + P_{25}(1)) $$ По формуле Бернулли $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$ вычислим вероятности: 1) Вероятность того, что никто из врачей не заболеет ($k = 0$): $$ P_{25}(0) = C_{25}^0 \cdot (0{,}08)^0 \cdot (0{,}92)^{25} = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}92^{25} = 0{,}92^{25} $$ 2) Вероятность того, что заболеет ровно один врач ($k = 1$): $$ P_{25}(1) = C_{25}^1 \cdot (0{,}08)^1 \cdot (0{,}92)^{24} = 25 \cdot 0{,}08 \cdot 0{,}92^{24} = 2 \cdot 0{,}92^{24} $$ Сумма вероятностей этих двух несовместных событий равна: $$ P(\overline{A}) = 0{,}92^{25} + 2 \cdot 0{,}92^{24} = 0{,}92^{24} \cdot (0{,}92 + 2) = 2{,}92 \cdot 0{,}92^{24} $$ Тогда искомая вероятность: $$ P(A) = 1 - 2{,}92 \cdot 0{,}92^{24} $$ Вычислим приближенное значение: $0{,}92^{24} \approx 0{,}1352$ $$ P(A) \approx 1 - 2{,}92 \cdot 0{,}1352 = 1 - 0{,}3948 \approx 0{,}6052 \approx 0{,}61 $$ Ответ: $1 - 2{,}92 \cdot 0{,}92^{24}$ (или $\approx 0{,}61$).