ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 24 - 24.18

1) Решим неравенство: $$ \sqrt{x^2 + 5x} < \sqrt{1 - x^2 + 4x} $$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$ равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ f(x) < g(x). \end{cases} $$ Составим и решим соответствующую систему: $$ \begin{cases} x^2 + 5x \ge 0, \\ x^2 + 5x < 1 - x^2 + 4x. \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $x(x + 5) \ge 0$. Корни: $x = -5$ и $x = 0$. Следовательно, $x \in (-\infty; -5] \cup [0; +\infty)$. Решим второе неравенство системы: $$ 2x^2 + x - 1 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 + x - 1 = 0$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $$ $$ x_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2} $$ Так как ветви параболы направлены вверх, решением неравенства $2x^2 + x - 1 < 0$ является интервал: $$ x \in \left(-1; \frac{1}{2}\right) $$ Найдем пересечение решений обоих неравенств: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -5] \cup [0; +\infty), \\ x \in \left(-1; \frac{1}{2}\right). \end{cases} $$ Пересечением является полуинтервал $\left[0; \frac{1}{2}\right)$. Ответ: $\left[0; \frac{1}{2}\right)$. --- 2) Решим неравенство: $$ \sqrt{\frac{2x - 3}{4x - 1}} \geq \sqrt{\frac{x - 2}{x + 2}} $$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)}$ равносильно системе: $$ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) \ge g(x). \end{cases} $$ Составим систему: $$ \begin{cases} \dfrac{x - 2}{x + 2} \ge 0, \\ \dfrac{2x - 3}{4x - 1} \ge \dfrac{x - 2}{x + 2}. \end{cases} $$ Решим первое неравенство методом интервалов: Нуль числителя: $x = 2$. Нуль знаменателя: $x = -2$. $$ x \in (-\infty; -2) \cup [2; +\infty) $$ Решим второе неравенство: $$ \frac{2x - 3}{4x - 1} - \frac{x - 2}{x + 2} \ge 0 $$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{(2x - 3)(x + 2) - (x - 2)(4x - 1)}{(4x - 1)(x + 2)} \ge 0 $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (2x^2 + 4x - 3x - 6) - (4x^2 - x - 8x + 2) = (2x^2 + x - 6) - (4x^2 - 9x + 2) = -2x^2 + 10x - 8 $$ Получаем: $$ \frac{-2(x^2 - 5x + 4)}{(4x - 1)(x + 2)} \ge 0 $$ Разделим обе части неравенства на $-2$, изменив знак неравенства на противоположный, и разложим числитель на множители: $$ \frac{(x - 1)(x - 4)}{(4x - 1)(x + 2)} \le 0 $$ Применим метод интервалов: Нули числителя: $x = 1$, $x = 4$ (точки закрашенные). Нули знаменателя: $x = -2$, $x = \frac{1}{4}$ (точки выколотые). Расставим знаки на интервалах: - на $(4; +\infty)$: знак $+$ - на $[1; 4]$: знак $-$ - на $\left(\frac{1}{4}; 1\right]$: знак $+$ - на $\left(-2; \frac{1}{4}\right)$: знак $-$ - на $(-\infty; -2)$: знак $+$ Следовательно, решением второго неравенства является: $$ x \in \left(-2; \frac{1}{4}\right) \cup [1; 4] $$ Найдем пересечение решений первого и второго неравенств системы: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -2) \cup [2; +\infty), \\ x \in \left(-2; \frac{1}{4}\right) \cup [1; 4]. \end{cases} $$ 1. Интервал $\left(-2; \frac{1}{4}\right)$ не пересекается с множеством $(-\infty; -2) \cup [2; +\infty)$. 2. Отрезок $[1; 4]$ пересекается с $[2; +\infty)$ по отрезку $[2; 4]$. Таким образом, решение системы: $x \in [2; 4]$. Ответ: $[2; 4]$.