ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 24 - 24.13

Каждый из $n$ пассажиров независимо от других может выбрать любой из $r$ вагонов электрички с одинаковой вероятностью. 1. Найдем общее число равновозможных исходов распределения $n$ пассажиров по $r$ вагонам. Так как у каждого пассажира есть $r$ вариантов выбора вагона, по правилу произведения общее число способов равно: $$ N = \underbrace{r \cdot r \cdot \ldots \cdot r}_{n \text{ раз}} = r^n $$ 2. Найдем число благоприятных исходов, при которых ровно $k$ пассажиров окажутся в первом вагоне (где $0 \le k \le n$): * Выбрать $k$ человек из $n$, которые зайдут в первый вагон, можно $C_n^k$ способами. * Оставшиеся $n - k$ пассажиров должны зайти в любые вагоны, кроме первого (то есть у каждого из них есть выбор из $r - 1$ вагонов). Количество способов распределить оставшихся пассажиров равно $(r - 1)^{n - k}$. По правилу произведения число благоприятных исходов равно: $$ M = C_n^k \cdot (r - 1)^{n - k} $$ 3. По классическому определению вероятности, искомая вероятность $P$ равна: $$ P = \frac{M}{N} = \frac{C_n^k (r - 1)^{n - k}}{r^n} = C_n^k \left(\frac{1}{r}\right)^k \left(1 - \frac{1}{r}\right)^{n - k} $$ *(Задачу также можно рассматривать как схему Бернулли из $n$ независимых испытаний с вероятностью «успеха» — попадания пассажира в первый вагон — $p = \frac{1}{r}$, где вероятность «неудачи» $q = 1 - \frac{1}{r} = \frac{r - 1}{r}$.)* Ответ: $\dfrac{C_n^k (r - 1)^{n - k}}{r^n}$ или $C_n^k \left(\dfrac{1}{r}\right)^k \left(\dfrac{r - 1}{r}\right)^{n - k}$.