ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 24 - 24.17

1) $|x^2 + 3x| < x + 4$ Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + 3x < x + 4 \\ x^2 + 3x > -(x + 4) \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: 1. Первое неравенство: $x^2 + 3x - x - 4 < 0$ $x^2 + 2x - 4 < 0$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 4 = 0$: $D_1 = 1^2 - 1 \cdot (-4) = 5$ $x_1 = -1 - \sqrt{5}, \quad x_2 = -1 + \sqrt{5}$ Так как ветви параболы направлены вверх, решением неравенства является интервал: $x \in (-1 - \sqrt{5}; -1 + \sqrt{5})$ 2. Второе неравенство: $x^2 + 3x > -x - 4$ $x^2 + 4x + 4 > 0$ $(x + 2)^2 > 0$ Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому неравенство выполняется при всех $x$, кроме тех, где выражение обращается в ноль: $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$ 3. Пересечем решения обоих неравенств: Так как $-1 - \sqrt{5} < -2 < -1 + \sqrt{5}$ (поскольку $\sqrt{5} \approx 2{,}24$), значение $x = -2$ лежит внутри интервала $(-1 - \sqrt{5}; -1 + \sqrt{5})$. Получаем: $x \in (-1 - \sqrt{5}; -2) \cup (-2; -1 + \sqrt{5})$ **Ответ:** $(-1 - \sqrt{5}; -2) \cup (-2; -1 + \sqrt{5})$ --- 2) $|x^2 + 3x| \geq 2 - x^2$ Неравенство вида $|f(x)| \geq g(x)$ равносильно совокупности неравенств: $$ \left[ \begin{aligned} x^2 + 3x &\geq 2 - x^2 \\ x^2 + 3x &\leq -(2 - x^2) \end{aligned} \right. $$ Решим каждое неравенство совокупности: 1. Первое неравенство: $x^2 + 3x \geq 2 - x^2$ $2x^2 + 3x - 2 \geq 0$ Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$ $x_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}$ Решением неравенства являются внешние промежутки: $x \in (-\infty; -2] \cup \left[\frac{1}{2}; +\infty\right)$ 2. Второе неравенство: $x^2 + 3x \leq -2 + x^2$ $3x \leq -2$ $x \leq -\frac{2}{3}$ То есть $x \in \left(-\infty; -\frac{2}{3}\right]$. 3. Объединим полученные решения: Так как $-2 < -\frac{2}{3}$, луч $(-\infty; -2]$ полностью входит в луч $\left(-\infty; -\frac{2}{3}\right]$. Объединением решений является: $x \in \left(-\infty; -\frac{2}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{2}; +\infty\right)$ **Ответ:** $\left(-\infty; -\frac{2}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{2}; +\infty\right)$