ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 24 - 24.16

Сеанс одновременной игры представляет собой серию из $n = 40$ независимых испытаний (партий). В каждой партии возможны два исхода: гроссмейстер выигрывает партию («успех») или не выигрывает («неудача»). Вероятность успеха в каждой отдельной партии: $$ p = 97\,\% = 0{,}97 $$ Вероятность неудачи: $$ q = 1 - p = 1 - 0{,}97 = 0{,}03 $$ Пусть событие $A$ заключается в том, что гроссмейстер выиграет не менее $38$ партий. Это означает, что число выигранных партий $k$ равно $38$, $39$ или $40$. Поскольку эти события несовместны, искомая вероятность равна сумме их вероятностей: $$ P(A) = P_{40}(38) + P_{40}(39) + P_{40}(40) $$ Применим формулу Бернулли $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ для каждого случая: 1) Вероятность выиграть ровно 40 партий: $$ P_{40}(40) = C_{40}^{40} \cdot 0{,}97^{40} \cdot 0{,}03^0 = 1 \cdot 0{,}97^{40} \cdot 1 = 0{,}97^{40} $$ 2) Вероятность выиграть ровно 39 партий: $$ P_{40}(39) = C_{40}^{39} \cdot 0{,}97^{39} \cdot 0{,}03^1 = 40 \cdot 0{,}03 \cdot 0{,}97^{39} = 1{,}2 \cdot 0{,}97^{39} $$ 3) Вероятность выиграть ровно 38 партий: $$ C_{40}^{38} = \frac{40!}{38! \cdot 2!} = \frac{40 \cdot 39}{2} = 780 $$ $$ P_{40}(38) = 780 \cdot 0{,}97^{38} \cdot 0{,}03^2 = 780 \cdot 0{,}0009 \cdot 0{,}97^{38} = 0{,}702 \cdot 0{,}97^{38} $$ Сложим полученные вероятности: $$ P(A) = 0{,}702 \cdot 0{,}97^{38} + 1{,}2 \cdot 0{,}97^{39} + 0{,}97^{40} $$ Вынесем общий множитель $0{,}97^{38}$ за скобки: $$ P(A) = 0{,}97^{38} \cdot \left(0{,}702 + 1{,}2 \cdot 0{,}97 + 0{,}97^2\right) $$ Выполним вычисления в скобках: $$ 1{,}2 \cdot 0{,}97 = 1{,}164 $$ $$ 0{,}97^2 = 0{,}9409 $$ $$ 0{,}702 + 1{,}164 + 0{,}9409 = 2{,}8069 $$ Получаем: $$ P(A) = 2{,}8069 \cdot 0{,}97^{38} \approx 0{,}882 $$ Ответ: $2{,}8069 \cdot 0{,}97^{38}$ (или приблизительно $0{,}88$).