ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 23 - 23.29

В каждом отдельном матче возможны три несовместных исхода: — победа команды $A$ с вероятностью $P(A) = 20\,\% = 0{,}2$; — победа команды $B$ с вероятностью $P(B) = 30\,\% = 0{,}3$; — ничья с вероятностью $P(\text{Н}) = 50\,\% = 0{,}5$. Все 4 матча серии проводятся независимо друг от друга. 1) Событие заключается в том, что в каждом из четырёх матчей зафиксирована ничья. Так как результаты матчей независимы, по правилу умножения вероятностей: $$ P = (P(\text{Н}))^4 = 0{,}5^4 = 0{,}0625 $$ 2) Команда $B$ не проиграет матч, если он закончится её победой или вничью (то есть команда $A$ не выиграет). Вероятность этого события в одном матче равна: $$ p = P(\text{Н}) + P(B) = 1 - P(A) = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8 $$ Чтобы команда $B$ не проиграла ни одного матча из четырёх, это условие должно выполниться в каждой из четырёх игр: $$ P = p^4 = 0{,}8^4 = 0{,}4096 $$ 3) Команда $A$ победит только во втором матче — это значит, что во втором матче она выигрывает, а в первом, третьем и четвёртом матчах не выигрывает. Вероятность того, что команда $A$ не выиграет в отдельном матче, равна: $$ q = 1 - P(A) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8 $$ Тогда вероятность заданной последовательности исходов равна: $$ P = q \cdot P(A) \cdot q \cdot q = 0{,}8 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}2 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}2 \cdot 0{,}512 = 0{,}1024 $$ 4) Команда $A$ победит только один раз в серии из четырёх матчей — это значит, что из 4 независимых испытаний успех (победа команды $A$) наступает ровно 1 раз. Используем формулу Бернулли $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $n = 4$, $k = 1$, $p = 0{,}2$, $q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$: $$ P_4(1) = C_4^1 \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^3 = 4 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}512 = 0{,}4096 $$ Ответ: 1) $0{,}0625$; 2) $0{,}4096$; 3) $0{,}1024$; 4) $0{,}4096$.