ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 23 - 23.30

Пусть событие $A_1$ означает, что первый блок работает безотказно в течение года, а событие $A_2$ — что второй блок работает безотказно в течение года. По условию задачи: - $P(A_1) = p$; - $P(A_2) = p$; - события $A_1$ и $A_2$ независимы. Система работает безотказно, если работает хотя бы один из двух блоков. Обозначим это событие через $A$. Тогда противоположное событие $\overline{A}$ состоит в том, что система откажет, то есть выйдут из строя оба блока одновременно. Найдём вероятности выхода из строя каждого из блоков в течение года: $$ P(\overline{A_1}) = 1 - P(A_1) = 1 - p $$ $$ P(\overline{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - p $$ Так как поломка каждого блока происходит независимо друг от друга, события $\overline{A_1}$ и $\overline{A_2}$ также являются независимыми. Вероятность того, что оба блока выйдут из строя: $$ P(\overline{A}) = P(\overline{A_1} \cdot \overline{A_2}) = P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) = (1 - p)(1 - p) = (1 - p)^2 $$ Тогда вероятность безотказной работы системы равна: $$ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - (1 - p)^2 = 1 - (1 - 2p + p^2) = 2p - p^2 $$ Ответ: $1 - (1 - p)^2$ (или $2p - p^2$).