ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 23 - 23.32

Формула бинома Ньютона для степени $n = 5$ имеет вид: $$ (a + b)^5 = C_5^0 a^5 + C_5^1 a^4 b + C_5^2 a^3 b^2 + C_5^3 a^2 b^3 + C_5^4 a b^4 + C_5^5 b^5 $$ Общий член разложения определяется формулой $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n$. 1. Найдем третий член разложения выражения $(p + q)^5$. Он соответствует значению $k = 2$: $$ T_3 = C_5^2 p^{5-2} q^2 = C_5^2 p^3 q^2 $$ Вычислим число сочетаний $C_5^2$: $$ C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5 - 2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 $$ Таким образом, третий член разложения равен: $$ T_3 = 10p^3 q^2 $$ 2. Подставим в полученное выражение $1 - p$ вместо $q$: $$ 10p^3(1 - p)^2 $$ Раскроем скобки: $$ 10p^3(1 - p)^2 = 10p^3(1 - 2p + p^2) = 10p^3 - 20p^4 + 10p^5 $$ **Ответ:** $10p^3 q^2$; при подстановке: $10p^3(1 - p)^2$ (или $10p^5 - 20p^4 + 10p^3$).