ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 23 - 23.27

Введём обозначения для событий: $A$ — Андрей попал в мишень; $B$ — Сергей попал в мишень; $C$ — Пётр попал в мишень. По условию выстрелы производятся независимо друг от друга, а вероятности попадания равны: $$ P(A) = 0,4, \quad P(B) = 0,5, \quad P(C) = 0,7 $$ Найдём вероятности противоположных событий (промахов): $$ P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,4 = 0,6 $$ $$ P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,5 = 0,5 $$ $$ P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0,7 = 0,3 $$ Так как события $A$, $B$ и $C$ независимы в совокупности, вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей этих событий. --- ### 1) Попадут все юноши Событие заключается в том, что попадут и Андрей, и Сергей, и Пётр ($A \cap B \cap C$): $$ P_1 = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,7 = 0,14 $$ --- ### 2) Ни один из юношей не попадёт Событие заключается в том, что промахнутся все трое ($\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}$): $$ P_2 = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C}) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = 0,09 $$ --- ### 3) Только Андрей попадёт Событие состоит в том, что Андрей попал, а Сергей и Пётр промахнулись ($A \cap \bar{B} \cap \bar{C}$): $$ P_3 = P(A) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C}) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = 0,06 $$ --- ### 4) Ровно один из юношей попадёт Это событие наступает, если попал только Андрей, только Сергей или только Пётр. Так как эти случаи несовместны, их вероятности складываются: $$ P_4 = P(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) + P(\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) + P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C) $$ Вычислим вероятность каждого слагаемого: $$ P(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = 0,06 $$ $$ P(\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = 0,09 $$ $$ P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,7 = 0,21 $$ Сложим полученные вероятности: $$ P_4 = 0,06 + 0,09 + 0,21 = 0,36 $$ --- ### 5) Не попадёт только Пётр Это означает, что Андрей и Сергей попали, а Пётр промахнулся ($A \cap B \cap \bar{C}$): $$ P_5 = P(A) \cdot P(B) \cdot P(\bar{C}) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = 0,06 $$ --- ### 6) Только один из юношей не попадёт Это равносильно тому, что ровно двое юношей попали в цель. Событие распадается на три несовместных исхода: промахнулся только Андрей, только Сергей или только Пётр: $$ P_6 = P(\bar{A} \cap B \cap C) + P(A \cap \bar{B} \cap C) + P(A \cap B \cap \bar{C}) $$ Вычислим вероятности этих вариантов: $$ P(\bar{A} \cap B \cap C) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,7 = 0,21 $$ $$ P(A \cap \bar{B} \cap C) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,7 = 0,14 $$ $$ P(A \cap B \cap \bar{C}) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = 0,06 $$ Сложим полученные значения: $$ P_6 = 0,21 + 0,14 + 0,06 = 0,41 $$ --- ### 7) По крайней мере двое юношей попадут Событие «по крайней мере двое попадут» означает, что в цель попали либо ровно двое юношей, либо все трое. Эти события несовместны, поэтому: $$ P_7 = P_6 + P_1 $$ Подставим найденные ранее значения из пунктов 6 и 1: $$ P_7 = 0,41 + 0,14 = 0,55 $$ --- Ответ: 1) 0,14; 2) 0,09; 3) 0,06; 4) 0,36; 5) 0,06; 6) 0,41; 7) 0,55.