ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 23 - 23.25

В оригинальном тексте учебника А. Г. Мерзляка (§ 23, № 23.25) условие содержит формулировку **«с ненулевыми вероятностями»** (в некоторых электронных публикациях слово «ненулевыми» ошибочно распознано как «нулевыми»). Ниже приведены решения для обоих вариантов прочтения. ### Основной вариант (по учебнику: с ненулевыми вероятностями) Пусть $P(A) \ne 0$ и $P(B) \ne 0$ (вероятности ненулевые, то есть $P(A) > 0$ и $P(B) > 0$). 1. По определению, события $A$ и $B$ независимы тогда и только тогда, когда вероятность их произведения (совместного наступления) равна произведению их вероятностей: $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$ 2. Так как $P(A) > 0$ и $P(B) > 0$, получаем: $$ P(A \cap B) > 0 $$ 3. По определению несовместных событий, они не могут произойти одновременно в одном и том же испытании, то есть: $$ A \cap B = \varnothing \implies P(A \cap B) = 0 $$ 4. Получаем противоречие: с одной стороны, $P(A \cap B) > 0$, а с другой — $P(A \cap B) = 0$. Следовательно, независимые события с ненулевыми вероятностями не могут быть несовместными. **Ответ:** нет, не могут. --- ### Вариант по буквальному тексту вопроса (с нулевыми вероятностями) Пусть $P(A) = 0$ и $P(B) = 0$. 1. Проверим условие независимости: $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0 \cdot 0 = 0 $$ 2. Для несовместных событий должно выполняться равенство $A \cap B = \varnothing$, откуда также следует, что $P(A \cap B) = 0$. 3. Пример: пусть в испытании событие $A$ — невозможное событие ($A = \varnothing$), событие $B$ — также невозможное событие ($B = \varnothing$). Тогда: $$ A \cap B = \varnothing $$ События $A$ и $B$ несовместны, при этом $P(A) = 0$, $P(B) = 0$ и $P(A \cap B) = 0 = P(A) \cdot P(B)$ (условие независимости выполняется). **Ответ:** да, могут.