ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 23 - 23.18

Введём обозначения для рассматриваемых событий: $A$ — на первом светофоре зафиксирован зелёный свет; $B$ — на втором светофоре зафиксирован зелёный свет. По условию задачи: $P(A) = 0{,}8$; $P(B) = 0{,}9$; $P(A \cap B) = 0{,}7$. События $\overline{A}$ и $\overline{B}$ означают, что на первом и втором светофорах соответственно зафиксирован сигнал, запрещающий движение (не зелёный). Вероятность запрещающего сигнала на первом светофоре: $$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2 $$ --- 1) Требуется найти условную вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$: $$ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ Подставим числовые значения: $$ P(A \mid B) = \frac{0{,}7}{0{,}9} = \frac{7}{9} $$ 2) Требуется найти условную вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A$: $$ P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $$ Подставим числовые значения: $$ P(B \mid A) = \frac{0{,}7}{0{,}8} = \frac{7}{8} = 0{,}875 $$ 3) Требуется найти вероятность того, что на первом светофоре зафиксирован запрещающий сигнал, если на втором горит зелёный свет, то есть $P(\overline{A} \mid B)$. Так как при условии наступления события $B$ события $A$ и $\overline{A}$ являются противоположными: $$ P(\overline{A} \mid B) = 1 - P(A \mid B) = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9} $$ 4) Требуется найти вероятность того, что на втором светофоре горит зелёный свет при условии, что на первом горит запрещающий сигнал, то есть $P(B \mid \overline{A})$. По формуле условной вероятности: $$ P(B \mid \overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(\overline{A})} $$ Событие $B$ состоит из двух несовместных событий: $(A \cap B)$ и $(\overline{A} \cap B)$. Следовательно: $$ P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) $$ $$ P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0{,}9 - 0{,}7 = 0{,}2 $$ Тогда: $$ P(B \mid \overline{A}) = \frac{0{,}2}{0{,}2} = 1 $$ --- Ответ: 1) $\dfrac{7}{9}$; 2) $0{,}875$ (или $\dfrac{7}{8}$); 3) $\dfrac{2}{9}$; 4) $1$.