ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 19 - 19.17

Найдем общий вид первообразных функции $f(x) = 2x^2 + 3x$: $$ F(x) = \int (2x^2 + 3x)\,dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C $$ где $C$ — некоторая постоянная. По геометрическому смыслу производной, угловой коэффициент касательной к графику первообразной равен значению производной в точке касания $x_0$, то есть $F'(x_0) = f(x_0)$. Уравнение заданной прямой имеет вид $y = 5x - 2$, следовательно, ее угловой коэффициент $k = 5$. Приравняем значение функции $f(x_0)$ к угловому коэффициенту касательной: $$ 2x_0^2 + 3x_0 = 5 $$ $$ 2x_0^2 + 3x_0 - 5 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 $$ Корни уравнения: $$ x_0 = \frac{-3 \pm 7}{4} $$ $$ x_{01} = 1, \quad x_{02} = -\frac{5}{2} $$ Точка касания принадлежит как касательной, так и графику функции $F(x)$, то есть $F(x_0) = 5x_0 - 2$. Рассмотрим два возможных случая: 1) При $x_0 = 1$: Найдем ординату точки касания: $$ y_0 = 5 \cdot 1 - 2 = 3 $$ Подставим координаты точки $(1; 3)$ в выражение для первообразной: $$ F(1) = \frac{2}{3} \cdot 1^3 + \frac{3}{2} \cdot 1^2 + C = 3 $$ $$ \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + C = 3 $$ $$ \frac{13}{6} + C = 3 $$ $$ C = 3 - \frac{13}{6} = \frac{5}{6} $$ Следовательно, искомая первообразная: $$ F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{5}{6} $$ 2) При $x_0 = -\frac{5}{2}$: Найдем ординату точки касания: $$ y_0 = 5 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) - 2 = -\frac{25}{2} - 2 = -\frac{29}{2} $$ Подставим координаты точки $\left(-\frac{5}{2}; -\frac{29}{2}\right)$ в выражение для первообразной: $$ F\left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right)^3 + \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + C = -\frac{29}{2} $$ $$ \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{125}{8}\right) + \frac{3}{2} \cdot \frac{25}{4} + C = -\frac{29}{2} $$ $$ -\frac{125}{12} + \frac{75}{8} + C = -\frac{29}{2} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $24$: $$ -\frac{250}{24} + \frac{225}{24} + C = -\frac{348}{24} $$ $$ -\frac{25}{24} + C = -\frac{348}{24} $$ $$ C = -\frac{348}{24} + \frac{25}{24} = -\frac{323}{24} = -13\frac{11}{24} $$ Следовательно, искомая первообразная: $$ F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{323}{24} $$ Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{5}{6}$ или $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{323}{24}$.