ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 19 - 19.15

1) Для нахождения интеграла применим формулу понижения степени: $$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $$ Преобразуем подынтегральное выражение и проинтегрируем: $$ \int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) \, dx $$ $$ = \frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2}\sin 2x \right) + C = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C $$ 2) Воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения синуса и косинуса в сумму: $$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta)) $$ При $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$ получаем: $$ \sin 5x \cos 3x = \frac{1}{2} (\sin(5x - 3x) + \sin(5x + 3x)) = \frac{1}{2} (\sin 2x + \sin 8x) $$ Вычислим интеграл: $$ \int \sin 5x \cos 3x \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 2x + \sin 8x) \, dx $$ $$ = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{1}{8}\cos 8x \right) + C = -\frac{1}{4}\cos 2x - \frac{1}{16}\cos 8x + C $$ 3) Применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов: $$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $$ При $\alpha = \frac{7x}{3}$ и $\beta = \frac{5x}{3}$ получаем: $$ \alpha - \beta = \frac{7x}{3} - \frac{5x}{3} = \frac{2x}{3} $$ $$ \alpha + \beta = \frac{7x}{3} + \frac{5x}{3} = \frac{12x}{3} = 4x $$ $$ \sin \frac{7x}{3} \sin \frac{5x}{3} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{2x}{3} - \cos 4x \right) $$ Интегрируем полученное выражение: $$ \int \sin \frac{7x}{3} \sin \frac{5x}{3} \, dx = \frac{1}{2} \int \left( \cos \frac{2x}{3} - \cos 4x \right) dx $$ $$ = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2}\sin \frac{2x}{3} - \frac{1}{4}\sin 4x \right) + C = \frac{3}{4}\sin \frac{2x}{3} - \frac{1}{8}\sin 4x + C $$ Ответ: 1) $\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C$; 2) $-\frac{1}{4}\cos 2x - \frac{1}{16}\cos 8x + C$; 3) $\frac{3}{4}\sin \frac{2x}{3} - \frac{1}{8}\sin 4x + C$.