ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 19 - 19.20

1. Найдём общий вид первообразной функции $f(x) = x + 1$: $$ F(x) = \int (x + 1)\,dx = \frac{x^2}{2} + x + C $$ где $C$ — постоянная интегрирования. 2. График функции $F(x) = \frac{x^2}{2} + x + C$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Чтобы этот график имел ровно одну общую точку с горизонтальной прямой $y = -4$, эта прямая должна касаться параболы в её вершине. Это означает, что уравнение $$ \frac{x^2}{2} + x + C = -4 $$ должно иметь ровно одно решение. 3. Преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду. Умножим обе части уравнения на $2$: $$ x^2 + 2x + 2C = -8 $$ $$ x^2 + 2x + (2C + 8) = 0 $$ Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2C + 8) = 4 - 8C - 32 = -8C - 28 $$ Приравняем дискриминант к нулю: $$ -8C - 28 = 0 $$ $$ -8C = 28 $$ $$ C = -\frac{28}{8} = -\frac{7}{2} = -3{,}5 $$ 4. Подставим найденное значение $C$ в формулу первообразной: $$ F(x) = \frac{x^2}{2} + x - \frac{7}{2} $$ Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + x - \frac{7}{2}$ (или $F(x) = \frac{x^2}{2} + x - 3{,}5$).