ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 19 - 19.18

1. Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = x^2 - 4$: $$ F(x) = \int (x^2 - 4)\,dx = \frac{x^3}{3} - 4x + C, $$ где $C$ — произвольная постоянная. 2. Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания графика первообразной $y = F(x)$ и прямой $y = -3$. Касательная задается уравнением горизонтальной прямой $y = -3$, следовательно, ее угловой коэффициент равен $0$. По геометрическому смыслу производной: $$ F'(x_0) = 0. $$ Так как $F'(x) = f(x)$, получаем: $$ f(x_0) = 0 $$ $$ x_0^2 - 4 = 0 $$ $$ x_0^2 = 4 \implies x_0 = 2 \quad \text{или} \quad x_0 = -2. $$ 3. Прямая $y = -3$ проходит через точку касания, следовательно, значение функции $F(x)$ в точке $x_0$ должно быть равно $-3$: $$ F(x_0) = -3. $$ Рассмотрим оба возможных случая для $x_0$: * **Случай 1:** $x_0 = 2$. Подставим $x_0 = 2$ в равенство $F(x_0) = -3$: $$ \frac{2^3}{3} - 4 \cdot 2 + C = -3 $$ $$ \frac{8}{3} - 8 + C = -3 $$ $$ -\frac{16}{3} + C = -3 $$ $$ C = -3 + \frac{16}{3} = -\frac{9}{3} + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}. $$ В этом случае первообразная имеет вид: $$ F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + \frac{7}{3}. $$ * **Случай 2:** $x_0 = -2$. Подставим $x_0 = -2$ в равенство $F(x_0) = -3$: $$ \frac{(-2)^3}{3} - 4 \cdot (-2) + C = -3 $$ $$ -\frac{8}{3} + 8 + C = -3 $$ $$ \frac{16}{3} + C = -3 $$ $$ C = -3 - \frac{16}{3} = -\frac{9}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{25}{3}. $$ В этом случае первообразная имеет вид: $$ F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x - \frac{25}{3}. $$ Ответ: $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 4x + \dfrac{7}{3}$ или $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 4x - \dfrac{25}{3}$.