ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 19 - 19.16

1) Найдем интеграл $\int \cos^2 2x \, dx$. Для вычисления интеграла применим формулу понижения степени: $$ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} $$ Положим $\alpha = 2x$, тогда: $$ \cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x $$ Подставим полученное выражение в интеграл: $$ \int \cos^2 2x \, dx = \int \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x \right) dx = \frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{2} \int \cos 4x \, dx $$ Так как $\int \cos kx \, dx = \frac{1}{k}\sin kx + C$, получаем: $$ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}\sin 4x + C = \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin 4x + C $$ 2) Найдем интеграл $\int \cos x \cos 8x \, dx$. Преобразуем произведение косинусов в сумму по формуле: $$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $$ В нашем случае: $$ \cos x \cos 8x = \frac{1}{2}(\cos(8x - x) + \cos(8x + x)) = \frac{1}{2}(\cos 7x + \cos 9x) $$ Подставим полученное выражение в интеграл и применим свойства линейности: $$ \int \cos x \cos 8x \, dx = \int \frac{1}{2}(\cos 7x + \cos 9x) \, dx = \frac{1}{2}\int \cos 7x \, dx + \frac{1}{2}\int \cos 9x \, dx $$ Находим первообразные: $$ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}\sin 7x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}\sin 9x + C = \frac{1}{14}\sin 7x + \frac{1}{18}\sin 9x + C $$ **Ответ:** 1) $\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin 4x + C$; 2) $\frac{1}{14}\sin 7x + \frac{1}{18}\sin 9x + C$.