ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 19 - 19.19

1. Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = -2x + 5$: $$ F(x) = \int (-2x + 5)\,dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = -x^2 + 5x + C $$ где $C$ — некоторая постоянная. 2. График первообразной $y = F(x)$ и прямая $y = 2$ имеют только одну общую точку тогда и только тогда, когда уравнение $F(x) = 2$ имеет единственное решение: $$ -x^2 + 5x + C = 2 $$ Перенесём все слагаемые в одну часть и запишем квадратное уравнение в стандартном виде: $$ x^2 - 5x + (2 - C) = 0 $$ 3. Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю ($D = 0$): $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - C) = 25 - 8 + 4C = 17 + 4C $$ Приравняем дискриминант к нулю: $$ 17 + 4C = 0 $$ $$ 4C = -17 $$ $$ C = -\frac{17}{4} = -4{,}25 $$ 4. Подставим найденное значение $C$ в общий вид первообразной: $$ F(x) = -x^2 + 5x - \frac{17}{4} $$ Ответ: $F(x) = -x^2 + 5x - \frac{17}{4}$ (или $F(x) = -x^2 + 5x - 4{,}25$).