ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 17 - 17.20

**1)** $f(x) = (x - 1)e^{-x}$ на промежутке $[1; 3]$ Функция $f(x)$ непрерывна и дифференцируема на отрезке $[1; 3]$. Найдем производную функции, используя формулу производной произведения: $$ f'(x) = (x - 1)' \cdot e^{-x} + (x - 1) \cdot (e^{-x})' $$ $$ f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x - 1) \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} (1 - (x - 1)) = (2 - x)e^{-x} $$ Найдем критические точки функции: $$ f'(x) = 0 \iff (2 - x)e^{-x} = 0 $$ Так как $e^{-x} > 0$ при всех действительных $x$, получаем: $$ 2 - x = 0 \implies x = 2 $$ Точка $x = 2$ принадлежит заданному отрезку: $2 \in [1; 3]$. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: - $f(1) = (1 - 1)e^{-1} = 0 \cdot e^{-1} = 0$ - $f(2) = (2 - 1)e^{-2} = 1 \cdot e^{-2} = \dfrac{1}{e^2}$ - $f(3) = (3 - 1)e^{-3} = 2e^{-3} = \dfrac{2}{e^3}$ Сравним полученные значения. Так как $e \approx 2{,}718 > 2$, то: $$ \dfrac{1}{e^2} - \dfrac{2}{e^3} = \dfrac{e - 2}{e^3} > 0 \implies \dfrac{1}{e^2} > \dfrac{2}{e^3} > 0 $$ Следовательно: - наибольшее значение функции равно $\dfrac{1}{e^2}$ (или $e^{-2}$); - наименьшее значение функции равно $0$. **Ответ:** $\max\limits_{[1; 3]} f(x) = f(2) = \dfrac{1}{e^2}$, $\min\limits_{[1; 3]} f(x) = f(1) = 0$. --- **2)** $f(x) = 5^{x^2 + 2x}$ на промежутке $[-2; 1]$ Функция $f(x)$ непрерывна и дифференцируема на отрезке $[-2; 1]$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = 5^{x^2 + 2x} \cdot \ln 5 \cdot (x^2 + 2x)' = (2x + 2) \cdot 5^{x^2 + 2x} \ln 5 $$ Найдем критические точки функции: $$ f'(x) = 0 \iff (2x + 2) \cdot 5^{x^2 + 2x} \ln 5 = 0 $$ Поскольку $5^{x^2 + 2x} > 0$ и $\ln 5 \neq 0$: $$ 2x + 2 = 0 \implies x = -1 $$ Точка $x = -1$ принадлежит заданному отрезку: $-1 \in [-2; 1]$. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: - $f(-2) = 5^{(-2)^2 + 2 \cdot (-2)} = 5^{4 - 4} = 5^0 = 1$ - $f(-1) = 5^{(-1)^2 + 2 \cdot (-1)} = 5^{1 - 2} = 5^{-1} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ - $f(1) = 5^{1^2 + 2 \cdot 1} = 5^{1 + 2} = 5^3 = 125$ Сравнивая числа $1$, $\dfrac{1}{5}$ и $125$, получаем: - наибольшее значение функции равно $125$; - наименьшее значение функции равно $\dfrac{1}{5}$. **Ответ:** $\max\limits_{[-2; 1]} f(x) = f(1) = 125$, $\min\limits_{[-2; 1]} f(x) = f(-1) = \dfrac{1}{5}$.