ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 17 - 17.23

Требуется найти такую функцию $F(x)$, для которой выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. 1) $f(x) = 2x$. Так как по формуле производной степенной функции $(x^2)' = 2x$, в качестве искомой функции можно взять: $$ F(x) = x^2 $$ Проверка: $$ F'(x) = (x^2)' = 2x = f(x) $$ Ответ: $F(x) = x^2$ (или $F(x) = x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная). 2) $f(x) = 1$. Так как производная аргумента $(x)' = 1$, выберем функцию: $$ F(x) = x $$ Проверка: $$ F'(x) = (x)' = 1 = f(x) $$ Ответ: $F(x) = x$ (или $F(x) = x + C$). 3) $f(x) = 4x^3$. Так как $(x^4)' = 4x^3$, выберем функцию: $$ F(x) = x^4 $$ Проверка: $$ F'(x) = (x^4)' = 4x^3 = f(x) $$ Ответ: $F(x) = x^4$ (или $F(x) = x^4 + C$). 4) $f(x) = 2x + 1$. Используя правило дифференцирования суммы и результаты предыдущих пунктов, составим функцию: $$ F(x) = x^2 + x $$ Проверка: $$ F'(x) = (x^2 + x)' = (x^2)' + (x)' = 2x + 1 = f(x) $$ Ответ: $F(x) = x^2 + x$ (или $F(x) = x^2 + x + C$). 5) $f(x) = x^2 - 1$. Так как $\left(\dfrac{x^3}{3}\right)' = \dfrac{3x^2}{3} = x^2$, а $(x)' = 1$, в качестве искомой функции подходит: $$ F(x) = \frac{x^3}{3} - x $$ Проверка: $$ F'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - x\right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 = x^2 - 1 = f(x) $$ Ответ: $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - x$ (или $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - x + C$).