ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 17 - 17.17

### 1) $f(x) = e^x - x$ 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = (e^x - x)' = e^x - 1 $$ 3. Критические точки: $$ e^x - 1 = 0 \implies e^x = 1 \implies x = 0 $$ 4. Определим знаки производной: - При $x < 0$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x > 0$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. При переходе через точку $x = 0$ знак производной меняется с «$-$» на «$+$», следовательно, $x = 0$ — точка минимума. Функция возрастает на $[0; +\infty)$, убывает на $(-\infty; 0]$. Точка экстремума: $x_{\min} = 0$. --- ### 2) $f(x) = x e^{2x}$ 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём производную по правилу дифференцирования произведения: $$ f'(x) = (x)' \cdot e^{2x} + x \cdot (e^{2x})' = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x) $$ 3. Критические точки: Так как $e^{2x} > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$: $$ 1 + 2x = 0 \implies x = -0{,}5 $$ 4. Определим знаки производной: - При $x < -0{,}5$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x > -0{,}5$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. В точке $x = -0{,}5$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», значит, это точка минимума. Функция возрастает на $[-0{,}5; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -0{,}5]$. Точка экстремума: $x_{\min} = -0{,}5$. --- ### 3) $f(x) = (1 - x)e^{x+1}$ 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = (1 - x)' \cdot e^{x+1} + (1 - x) \cdot (e^{x+1})' = -1 \cdot e^{x+1} + (1 - x) \cdot e^{x+1} = e^{x+1}(-1 + 1 - x) = -x e^{x+1} $$ 3. Критические точки: Так как $e^{x+1} > 0$: $$ -x = 0 \implies x = 0 $$ 4. Определим знаки производной: - При $x < 0$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x > 0$: $f'(x) < 0$, функция убывает. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», значит, это точка максимума. Функция возрастает на $(-\infty; 0]$, убывает на $[0; +\infty)$. Точка экстремума: $x_{\max} = 0$. --- ### 4) $f(x) = x^2 \cdot 2^{-x}$ 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = (x^2)' \cdot 2^{-x} + x^2 \cdot (2^{-x})' = 2x \cdot 2^{-x} + x^2 \cdot 2^{-x} \cdot \ln 2 \cdot (-1) = 2^{-x} x (2 - x\ln 2) $$ 3. Критические точки: Так как $2^{-x} > 0$ при всех $x$: $$ x(2 - x\ln 2) = 0 \implies x_1 = 0,\quad x_2 = \frac{2}{\ln 2} $$ 4. Определим знаки производной: - При $x \in (-\infty; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in \left(0; \frac{2}{\ln 2}\right)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x \in \left(\frac{2}{\ln 2}; +\infty\right)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. Функция возрастает на $\left[0; \frac{2}{\ln 2}\right]$, убывает на $(-\infty; 0]$ и на $\left[\frac{2}{\ln 2}; +\infty\right)$. Точки экстремума: $x_{\min} = 0$, $x_{\max} = \frac{2}{\ln 2}$. --- ### 5) $f(x) = 4xe^{2-x}$ 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = (4x)' \cdot e^{2-x} + 4x \cdot (e^{2-x})' = 4e^{2-x} - 4xe^{2-x} = 4e^{2-x}(1 - x) $$ 3. Критические точки: $$ 1 - x = 0 \implies x = 1 $$ 4. Определим знаки производной: - При $x < 1$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x > 1$: $f'(x) < 0$, функция убывает. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», значит, это точка максимума. Функция возрастает на $(-\infty; 1]$, убывает на $[1; +\infty)$. Точка экстремума: $x_{\max} = 1$. --- ### 6) $f(x) = e^{x^2}$ 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём производную сложной функции: $$ f'(x) = e^{x^2} \cdot (x^2)' = 2x e^{x^2} $$ 3. Критические точки: $$ 2x = 0 \implies x = 0 $$ 4. Определим знаки производной: - При $x < 0$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x > 0$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. В точке $x = 0$ знак меняется с «$-$» на «$+$», значит, это точка минимума. Функция возрастает на $[0; +\infty)$, убывает на $(-\infty; 0]$. Точка экстремума: $x_{\min} = 0$. --- ### 7) $f(x) = e^{4x - x^2 + 1}$ 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = e^{4x - x^2 + 1} \cdot (4x - x^2 + 1)' = (4 - 2x)e^{4x - x^2 + 1} $$ 3. Критические точки: $$ 4 - 2x = 0 \implies x = 2 $$ 4. Определим знаки производной: - При $x < 2$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x > 2$: $f'(x) < 0$, функция убывает. В точке $x = 2$ знак меняется с «$+$» на «$-$», значит, это точка максимума. Функция возрастает на $(-\infty; 2]$, убывает на $[2; +\infty)$. Точка экстремума: $x_{\max} = 2$. --- ### 8) $f(x) = \frac{e^x}{x - 2}$ 1. Область определения: $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. 2. Найдём производную дроби: $$ f'(x) = \frac{(e^x)'(x - 2) - e^x(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{e^x(x - 2) - e^x}{(x - 2)^2} = \frac{e^x(x - 3)}{(x - 2)^2} $$ 3. Критические точки: Числитель равен нулю при $x = 3$. Точка $x = 2$ не входит в область определения. 4. Определим знаки производной (знаменатель $(x-2)^2 > 0$ на $D(f)$): - При $x \in (-\infty; 2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (2; 3)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (3; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. В точке $x = 3$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», значит, это точка минимума. Функция возрастает на $[3; +\infty)$, убывает на $(-\infty; 2)$ и на $(2; 3]$. Точка экстремума: $x_{\min} = 3$. --- ### 9) $f(x) = \frac{4x}{e^x}$ 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = \frac{(4x)' \cdot e^x - 4x \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{4e^x - 4xe^x}{e^{2x}} = \frac{4(1 - x)}{e^x} $$ 3. Критические точки: $$ 1 - x = 0 \implies x = 1 $$ 4. Определим знаки производной: - При $x < 1$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x > 1$: $f'(x) < 0$, функция убывает. В точке $x = 1$ знак меняется с «$+$» на «$-$», значит, это точка максимума. Функция возрастает на $(-\infty; 1]$, убывает на $[1; +\infty)$. Точка экстремума: $x_{\max} = 1$. --- ### 10) $f(x) = x^3 \ln x$ 1. Область определения: $D(f) = (0; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = (x^3)' \ln x + x^3 (\ln x)' = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2 = x^2(3\ln x + 1) $$ 3. Критические точки: При $x > 0$ множитель $x^2 > 0$: $$ 3\ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -\frac{1}{3} \implies x = e^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{e}} $$ 4. Определим знаки производной на $(0; +\infty)$: - При $x \in \left(0; e^{-\frac{1}{3}}\right)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in \left(e^{-\frac{1}{3}}; +\infty\right)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. В точке $x = e^{-\frac{1}{3}}$ знак меняется с «$-$» на «$+$», значит, это точка минимума. Функция возрастает на $\left[e^{-\frac{1}{3}}; +\infty\right)$, убывает на $\left(0; e^{-\frac{1}{3}}\right]$. Точка экстремума: $x_{\min} = e^{-\frac{1}{3}}$ (или $\frac{1}{\sqrt[3]{e}}$). --- ### 11) $f(x) = \ln x - x$ 1. Область определения: $D(f) = (0; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x} $$ 3. Критические точки: На интервале $(0; +\infty)$: $$ 1 - x = 0 \implies x = 1 $$ 4. Определим знаки производной: - При $x \in (0; 1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x \in (1; +\infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. В точке $x = 1$ знак меняется с «$+$» на «$-$», значит, это точка максимума. Функция возрастает на $(0; 1]$, убывает на $[1; +\infty)$. Точка экстремума: $x_{\max} = 1$. --- ### 12) $f(x) = x^2 \lg x$ 1. Область определения: $D(f) = (0; +\infty)$. 2. Запишем $\lg x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ и найдём производную: $$ f'(x) = 2x \lg x + x^2 \cdot \frac{1}{x \ln 10} = 2x \lg x + \frac{x}{\ln 10} = \frac{x(2\ln x + 1)}{\ln 10} $$ 3. Критические точки: При $x > 0$: $$ 2\ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -\frac{1}{2} \implies x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} $$ 4. Определим знаки производной: - При $x \in \left(0; \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in \left(\frac{1}{\sqrt{e}}; +\infty\right)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. В точке $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», значит, это точка минимума. Функция возрастает на $\left[\frac{1}{\sqrt{e}}; +\infty\right)$, убывает на $\left(0; \frac{1}{\sqrt{e}}\right]$. Точка экстремума: $x_{\min} = \frac{1}{\sqrt{e}}$. --- ### 13) $f(x) = \ln x + \frac{1}{x}$ 1. Область определения: $D(f) = (0; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x - 1}{x^2} $$ 3. Критические точки: Для $x > 0$: $$ x - 1 = 0 \implies x = 1 $$ 4. Определим знаки производной: - При $x \in (0; 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (1; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. В точке $x = 1$ знак меняется с «$-$» на «$+$», следовательно, это точка минимума. Функция возрастает на $[1; +\infty)$, убывает на $(0; 1]$. Точка экстремума: $x_{\min} = 1$. --- ### 14) $f(x) = \frac{x}{\ln x}$ 1. Область определения: $x > 0$ и $\ln x \neq 0$, то есть $D(f) = (0; 1) \cup (1; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = \frac{(x)' \ln x - x (\ln x)'}{\ln^2 x} = \frac{\ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^2 x} = \frac{\ln x - 1}{\ln^2 x} $$ 3. Критические точки: $$ \ln x - 1 = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e $$ 4. Определим знаки производной: - При $x \in (0; 1)$: $\ln x - 1 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (1; e)$: $\ln x - 1 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (e; +\infty)$: $\ln x - 1 > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает. В точке $x = e$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», значит, это точка минимума. Функция возрастает на $[e; +\infty)$, убывает на $(0; 1)$ и на $(1; e]$. Точка экстремума: $x_{\min} = e$. --- ### 15) $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ 1. Область определения: $D(f) = (0; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot \sqrt{x} - \ln x \cdot (\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^2} = \frac{\frac{1}{x}\sqrt{x} - \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\ln x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}} $$ 3. Критические точки: При $x > 0$ знаменатель $2x\sqrt{x} > 0$: $$ 2 - \ln x = 0 \implies \ln x = 2 \implies x = e^2 $$ 4. Определим знаки производной: - При $x \in (0; e^2)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x \in (e^2; +\infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. В точке $x = e^2$ знак меняется с «$+$» на «$-$», значит, это точка максимума. Функция возрастает на $(0; e^2]$, убывает на $[e^2; +\infty)$. Точка экстремума: $x_{\max} = e^2$. --- ### 16) $f(x) = x^2 - \ln x^2$ 1. Область определения: $x^2 > 0 \implies D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 2. Учитывая, что $\ln x^2 = 2\ln |x|$, найдём производную: $$ f'(x) = 2x - \frac{1}{x^2} \cdot 2x = 2x - \frac{2}{x} = \frac{2(x^2 - 1)}{x} = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{x} $$ 3. Критические точки: $x = -1$ и $x = 1$ (точка $x = 0$ не входит в область определения). 4. Определим знаки производной методом интервалов: - При $x \in (-\infty; -1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (-1; 0)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x \in (0; 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (1; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. В точке $x = -1$ знак меняется с «$-$» на «$+$» $\implies x_{\min} = -1$. В точке $x = 1$ знак меняется с «$-$» на «$+$» $\implies x_{\min} = 1$. Точек максимума нет. Функция возрастает на $[-1; 0)$ и на $[1; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -1]$ и на $(0; 1]$. Точки экстремума: $x_{\min} = -1$, $x_{\min} = 1$. --- ### 17) $f(x) = 2\ln^3 x - 3\ln^2 x$ 1. Область определения: $D(f) = (0; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = 2 \cdot 3\ln^2 x \cdot \frac{1}{x} - 3 \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{6\ln x(\ln x - 1)}{x} $$ 3. Критические точки: При $x > 0$: $$ \ln x(\ln x - 1) = 0 \implies \ln x = 0 \quad \text{или} \quad \ln x = 1 \implies x_1 = 1,\quad x_2 = e $$ 4. Определим знаки производной: - При $x \in (0; 1)$: $\ln x < 0$, $(\ln x - 1) < 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x \in (1; e)$: $\ln x > 0$, $(\ln x - 1) < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (e; +\infty)$: $\ln x > 0$, $(\ln x - 1) > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает. В точке $x = 1$ знак меняется с «$+$» на «$-$» $\implies x_{\max} = 1$. В точке $x = e$ знак меняется с «$-$» на «$+$» $\implies x_{\min} = e$. Функция возрастает на $(0; 1]$ и на $[e; +\infty)$, убывает на $[1; e]$. Точки экстремума: $x_{\max} = 1$, $x_{\min} = e$. --- ### 18) $f(x) = \lg^2 x - \lg x$ 1. Область определения: $D(f) = (0; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = 2\lg x \cdot \frac{1}{x\ln 10} - \frac{1}{x\ln 10} = \frac{2\lg x - 1}{x\ln 10} $$ 3. Критические точки: При $x > 0$ знаменатель $x\ln 10 > 0$: $$ 2\lg x - 1 = 0 \implies \lg x = \frac{1}{2} \implies x = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10} $$ 4. Определим знаки производной: - При $x \in (0; \sqrt{10})$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (\sqrt{10}; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. В точке $x = \sqrt{10}$ знак меняется с «$-$» на «$+$», значит, это точка минимума. Функция возрастает на $[\sqrt{10}; +\infty)$, убывает на $(0; \sqrt{10}]$. Точка экстремума: $x_{\min} = \sqrt{10}$.