ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 17 - 17.22

### 1) Исследование функции $f(x) = \frac{x}{e^x}$ и построение графика **1. Область определения функции:** Знаменатель $e^x > 0$ при всех действительных $x$, поэтому: $$D(f) = (-\infty; +\infty)$$ **2. Чётность и периодичность:** $$f(-x) = \frac{-x}{e^{-x}} = -x e^x$$ Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). Функция непериодическая. **3. Точки пересечения с осями координат и знаки функции:** * С осью $Oy$ ($x = 0$): $$f(0) = \frac{0}{e^0} = 0$$ * С осью $Ox$ ($f(x) = 0$): $$\frac{x}{e^x} = 0 \iff x = 0$$ График пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0; 0)$. * Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$. **4. Асимптоты и поведение на бесконечности:** * Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой прямой. * Горизонтальные асимптоты: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$$ Следовательно, прямая $y = 0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$. При $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{x \to -\infty} (x \cdot e^{-x}) = -\infty \cdot (+\infty) = -\infty$$ Наклонных асимптот при $x \to -\infty$ нет, так как: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty$$ **5. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** Найдём производную функции: $$f'(x) = \left(\frac{x}{e^x}\right)' = \frac{x' \cdot e^x - x \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{e^x - x e^x}{(e^x)^2} = \frac{1 - x}{e^x}$$ Критическая точка: $$f'(x) = 0 \iff 1 - x = 0 \iff x = 1$$ Определим знаки производной на интервалах: * при $x \in (-\infty; 1)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; * при $x \in (1; +\infty)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает. В точке $x = 1$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, $x = 1$ — точка максимума: $$x_{\max} = 1, \quad f(1) = \frac{1}{e} \approx 0{,}37$$ **6. Выпуклость и точки перегиба:** Найдём вторую производную: $$f''(x) = \left(\frac{1 - x}{e^x}\right)' = \frac{-1 \cdot e^x - (1 - x)e^x}{(e^x)^2} = \frac{-1 - 1 + x}{e^x} = \frac{x - 2}{e^x}$$ $$f''(x) = 0 \iff x = 2$$ * на $(-\infty; 2)$: $f''(x) < 0$ — график выпуклый вверх; * на $(2; +\infty)$: $f''(x) > 0$ — график выпуклый вниз. Точка перегиба: $\left(2; \frac{2}{e^2}\right)$, где $f(2) = \frac{2}{e^2} \approx 0{,}27$. **7. Построение графика:** * Функция выходит из третьей четверти (из $-\infty$), возрастая; * Проходит через начало координат $(0; 0)$; * Достигает локального максимума в точке $\left(1; \frac{1}{e}\right) \approx (1; 0{,}37)$; * Далее убывает, меняет направление выпуклости в точке перегиба $\left(2; \frac{2}{e^2}\right) \approx (2; 0{,}27)$ и асимптотически приближается к оси $Ox$ сверху ($y \to 0$) при $x \to +\infty$. --- ### 2) Исследование функции $f(x) = x e^{-\frac{x^2}{2}}$ и построение графика **1. Область определения функции:** $$D(f) = (-\infty; +\infty)$$ **2. Чётность и периодичность:** $$f(-x) = (-x) \cdot e^{-\frac{(-x)^2}{2}} = -x e^{-\frac{x^2}{2}} = -f(x)$$ Функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. Функция непериодическая. **3. Точки пересечения с осями координат и знаки функции:** * С осями координат: $f(x) = 0 \iff x = 0$ (так как $e^{-\frac{x^2}{2}} > 0$). График проходит через начало координат $(0; 0)$. * Знаки функции: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$. **4. Асимптоты:** * Вертикальных асимптот нет. * Горизонтальные асимптоты: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x^2/2}} = 0, \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{x^2/2}} = 0$$ Следовательно, прямая $y = 0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой при $x \to \pm\infty$. **5. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** Найдём первую производную: $$f'(x) = 1 \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} + x \cdot \left(e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot (-x)\right) = e^{-\frac{x^2}{2}} (1 - x^2) = (1 - x)(1 + x)e^{-\frac{x^2}{2}}$$ Критические точки: $$f'(x) = 0 \iff 1 - x^2 = 0 \iff x_1 = -1, \quad x_2 = 1$$ Знаки производной: * при $x \in (-\infty; -1)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; * при $x \in (-1; 1)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; * при $x \in (1; +\infty)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает. Экстремумы функции: * Точка минимума: $$x_{\min} = -1, \quad f(-1) = -e^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{e}} \approx -0{,}61$$ * Точка максимума: $$x_{\max} = 1, \quad f(1) = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0{,}61$$ **6. Выпуклость и точки перегиба:** Найдём вторую производную: $$f''(x) = (-2x) e^{-\frac{x^2}{2}} + (1 - x^2) \cdot (-x) e^{-\frac{x^2}{2}} = e^{-\frac{x^2}{2}} (-2x - x + x^3) = x(x^2 - 3)e^{-\frac{x^2}{2}}$$ $$f''(x) = 0 \iff x = 0 \quad \text{или} \quad x = \pm\sqrt{3}$$ Интервалы выпуклости: * на $(-\infty; -\sqrt{3})$: $f''(x) < 0$ — выпукла вверх; * на $(-\sqrt{3}; 0)$: $f''(x) > 0$ — выпукла вниз; * на $(0; \sqrt{3})$: $f''(x) < 0$ — выпукла вверх; * на $(\sqrt{3}; +\infty)$: $f''(x) > 0$ — выпукла вниз. Точки перегиба: $$(0; 0), \quad \left(-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{3}}{e\sqrt{e}}\right) \approx (-1{,}73; -0{,}39), \quad \left(\sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{e\sqrt{e}}\right) \approx (1{,}73; 0{,}39)$$ **7. Построение графика:** * При $x \to -\infty$ график приближается к оси $Ox$ снизу ($y \to 0^-$); * Убывает до точки минимума $\left(-1; -\frac{1}{\sqrt{e}}\right)$; * Возрастает от минимума, проходя через точку перегиба $(0; 0)$ к точке максимума $\left(1; \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$; * После максимума убывает, проходя точку перегиба $\left(\sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{e^3}}\right)$, и асимптотически стремится к оси $Ox$ сверху ($y \to 0^+$) при $x \to +\infty$. --- ### 3) Исследование функции $f(x) = \log_2(x^2 + x)$ и построение графика **1. Область определения функции:** Подлогарифмическое выражение должно быть строго положительным: $$x^2 + x > 0 \iff x(x + 1) > 0$$ $$D(f) = (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$$ **2. Чётность и периодичность:** Область определения не симметрична относительно начала координат (например, точка $x = 0{,}5 \in D(f)$, но $x = -0{,}5 \notin D(f)$). Функция общего вида, непериодическая. График функции симметричен относительно вертикальной прямой $x = -\frac{1}{2}$, так как $x^2 + x = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}$. **3. Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Oy$: точек пересечения нет, так как $x = 0 \notin D(f)$. * С осью $Ox$ ($f(x) = 0$): $$\log_2(x^2 + x) = 0 \iff x^2 + x = 1 \iff x^2 + x - 1 = 0$$ $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5$$ $$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1{,}62 \in D(f)$$ $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0{,}62 \in D(f)$$ Точки пересечения с осью $Ox$: $\left(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; 0\right)$ и $\left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; 0\right)$. **4. Асимптоты:** * Вертикальные асимптоты: При $x \to -1^-$: $$\lim_{x \to -1^-} (x^2 + x) = 0^+ \implies \lim_{x \to -1^-} \log_2(x^2 + x) = -\infty$$ При $x \to 0^+$: $$\lim_{x \to 0^+} (x^2 + x) = 0^+ \implies \lim_{x \to 0^+} \log_2(x^2 + x) = -\infty$$ Следовательно, прямые $x = -1$ и $x = 0$ являются вертикальными асимптотами. * Горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как: $$\lim_{x \to \pm\infty} \log_2(x^2 + x) = +\infty$$ **5. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** Найдём производную: $$f'(x) = \frac{(x^2 + x)'}{(x^2 + x)\ln 2} = \frac{2x + 1}{(x^2 + x)\ln 2}$$ Знаменатель $(x^2 + x)\ln 2 > 0$ при всех $x \in D(f)$. Знак производной определяется знаком числителя $(2x + 1)$: * для $x \in (-\infty; -1)$: $2x + 1 < -1 < 0 \implies f'(x) < 0$ — функция строго убывает; * для $x \in (0; +\infty)$: $2x + 1 > 1 > 0 \implies f'(x) > 0$ — функция строго возрастает. Критическая точка $x = -\frac{1}{2}$ не принадлежит области определения $D(f)$, поэтому экстремумов у функции нет. **6. Выпуклость и точки перегиба:** Найдём вторую производную: $$f''(x) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \left(\frac{2x + 1}{x^2 + x}\right)' = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{2(x^2 + x) - (2x + 1)(2x + 1)}{(x^2 + x)^2} = \frac{-2x^2 - 2x - 1}{(x^2 + x)^2 \ln 2}$$ Преобразуем числитель: $$-2x^2 - 2x - 1 = -2(x^2 + x) - 1$$ Так как $x^2 + x > 0$ на $D(f)$, числитель всегда строго отрицателен: $$-2(x^2 + x) - 1 < 0$$ Следовательно, $f''(x) < 0$ на всей области определения. График функции везде выпуклый вверх, точек перегиба нет. **7. Построение графика:** График состоит из двух отдельных ветвей: * Левая ветвь ($x \in (-\infty; -1)$): опускается из $+\infty$, пересекает ось $Ox$ в точке $\approx -1{,}62$ и резко уходит вниз вдоль вертикальной асимптоты $x = -1$ к $-\infty$; * Правая ветвь ($x \in (0; +\infty)$): выходит из $-\infty$ снизу вдоль вертикальной асимптоты $x = 0$, пересекает ось $Ox$ в точке $\approx 0{,}62$ и неограниченно возрастает вправо вверх.