ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 17 - 17.18

### 1) $f(x) = x e^{\frac{x}{2}}$ 1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = (x)' \cdot e^{\frac{x}{2}} + x \cdot \left(e^{\frac{x}{2}}\right)' = 1 \cdot e^{\frac{x}{2}} + x \cdot e^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = e^{\frac{x}{2}}\left(1 + \frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}(x + 2) $$ 3. Найдём критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff x + 2 = 0 \iff x = -2 $$ 4. Определим знаки производной на полученных промежутках: - на промежутке $(-\infty; -2)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - на промежутке $(-2; +\infty)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает. При переходе через точку $x = -2$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», следовательно, $x = -2$ — точка минимума. **Ответ:** функция возрастает на $[-2; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -2]$; $x_{\min} = -2$. --- ### 2) $f(x) = e^{x^4 - 2x^2}$ 1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = e^{x^4 - 2x^2} \cdot (x^4 - 2x^2)' = e^{x^4 - 2x^2} \cdot (4x^3 - 4x) = 4x(x^2 - 1)e^{x^4 - 2x^2} = 4x(x - 1)(x + 1)e^{x^4 - 2x^2} $$ 3. Найдём критические точки ($e^{x^4 - 2x^2} > 0$ при всех $x$): $$ f'(x) = 0 \iff 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \iff x_1 = -1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 1 $$ 4. Знаки производной методом интервалов: - на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(0; 1)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - на промежутках $(-1; 0)$ и $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает. При переходе через точки $x = -1$ и $x = 1$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$» (точки минимума), а через $x = 0$ — с «$+$» на «$-$» (точка максимума). **Ответ:** функция возрастает на $[-1; 0]$ и на $[1; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -1]$ и на $[0; 1]$; $x_{\max} = 0$, $x_{\min} = -1$, $x_{\min} = 1$. --- ### 3) $f(x) = 5^{-x^3 + 3x + 1}$ 1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = 5^{-x^3 + 3x + 1} \cdot \ln 5 \cdot (-x^3 + 3x + 1)' = 5^{-x^3 + 3x + 1} \cdot \ln 5 \cdot (-3x^2 + 3) = -3\ln 5 \cdot (x^2 - 1) \cdot 5^{-x^3 + 3x + 1} $$ 3. Критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff x^2 - 1 = 0 \iff x_1 = -1, \quad x_2 = 1 $$ 4. Знаки производной: - на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - на промежутке $(-1; 1)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает. При переходе через $x = -1$ знак меняется с «$-$» на «$+$» (минимум), через $x = 1$ — с «$+$» на «$-$» (максимум). **Ответ:** функция возрастает на $[-1; 1]$, убывает на $(-\infty; -1]$ и на $[1; +\infty)$; $x_{\max} = 1$, $x_{\min} = -1$. --- ### 4) $f(x) = (4x - 1)e^{2x}$ 1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = (4x - 1)' \cdot e^{2x} + (4x - 1) \cdot (e^{2x})' = 4e^{2x} + (4x - 1) \cdot 2e^{2x} = 2e^{2x}(2 + 4x - 1) = 2e^{2x}(4x + 1) $$ 3. Критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff 4x + 1 = 0 \iff x = -0,25 $$ 4. Знаки производной: - на $(-\infty; -0,25)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - на $(-0,25; +\infty)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает. В точке $x = -0,25$ знак производной меняется с «$-$» на «$+$». **Ответ:** функция возрастает на $[-0,25; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -0,25]$; $x_{\min} = -0,25$. --- ### 5) $f(x) = x^3 \cdot 3^{-x}$ 1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = (x^3)' \cdot 3^{-x} + x^3 \cdot (3^{-x})' = 3x^2 \cdot 3^{-x} + x^3 \cdot 3^{-x} \ln 3 \cdot (-1) = x^2 \cdot 3^{-x}(3 - x\ln 3) $$ 3. Критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff x^2 = 0 \quad \text{или} \quad 3 - x\ln 3 = 0 \iff x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{3}{\ln 3} $$ 4. Знаки производной: - на промежутке $(-\infty; 0)$: $f'(x) > 0$; - на промежутке $\left(0; \frac{3}{\ln 3}\right)$: $f'(x) > 0$; - на промежутке $\left(\frac{3}{\ln 3}; +\infty\right)$: $f'(x) < 0$. Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, она возрастает на $\left(-\infty; \frac{3}{\ln 3}\right]$ и убывает на $\left[\frac{3}{\ln 3}; +\infty\right)$. Точка $x = 0$ не является точкой экстремума (производная не меняет знак), а в точке $x = \frac{3}{\ln 3}$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$». **Ответ:** функция возрастает на $\left(-\infty; \frac{3}{\ln 3}\right]$, убывает на $\left[\frac{3}{\ln 3}; +\infty\right)$; $x_{\max} = \frac{3}{\ln 3}$. --- ### 6) $f(x) = \frac{x + 3}{e^x}$ 1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = \frac{(x + 3)' \cdot e^x - (x + 3) \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{e^x - (x + 3)e^x}{e^{2x}} = \frac{1 - x - 3}{e^x} = -\frac{x + 2}{e^x} $$ 3. Критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff x + 2 = 0 \iff x = -2 $$ 4. Знаки производной: - на $(-\infty; -2)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; - на $(-2; +\infty)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает. В точке $x = -2$ знак меняется с «$+$» на «$-$». **Ответ:** функция возрастает на $(-\infty; -2]$, убывает на $[-2; +\infty)$; $x_{\max} = -2$. --- ### 7) $f(x) = 0,5x^2 - \ln x$ 1. Область определения: $D(f) = (0; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = x - \frac{1}{x} = \frac{x^2 - 1}{x} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x} $$ 3. Критические точки (с учётом $x > 0$): $$ f'(x) = 0 \iff x^2 - 1 = 0 \iff x = 1 \quad (x = -1 \notin D(f)) $$ 4. Знаки производной на области определения: - на промежутке $(0; 1)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - на промежутке $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает. При переходе через $x = 1$ знак меняется с «$-$» на «$+$». **Ответ:** функция возрастает на $[1; +\infty)$, убывает на $(0; 1]$; $x_{\min} = 1$. --- ### 8) $f(x) = x \ln^2 x$ 1. Область определения: $D(f) = (0; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = (x)' \cdot \ln^2 x + x \cdot (\ln^2 x)' = \ln^2 x + x \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \ln^2 x + 2\ln x = \ln x(\ln x + 2) $$ 3. Критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff \ln x = 0 \quad \text{или} \quad \ln x = -2 \iff x_1 = 1, \quad x_2 = e^{-2} = \frac{1}{e^2} $$ 4. Знаки производной: - на промежутке $\left(0; \frac{1}{e^2}\right)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; - на промежутке $\left(\frac{1}{e^2}; 1\right)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - на промежутке $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает. При переходе через точку $x = \frac{1}{e^2}$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», а через $x = 1$ — с «$-$» на «$+$». **Ответ:** функция возрастает на $\left(0; \frac{1}{e^2}\right]$ и на $[1; +\infty)$, убывает на $\left[\frac{1}{e^2}; 1\right]$; $x_{\max} = \frac{1}{e^2}$, $x_{\min} = 1$. --- ### 9) $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ 1. Область определения: $D(f) = (0; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} $$ 3. Критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e $$ 4. Знаки производной: - на промежутке $(0; e)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; - на промежутке $(e; +\infty)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает. В точке $x = e$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$». **Ответ:** функция возрастает на $(0; e]$, убывает на $[e; +\infty)$; $x_{\max} = e$. --- ### 10) $f(x) = \ln x^2 + \frac{2}{x}$ 1. Область определения: под знаком логарифма $x^2 > 0$ и в знаменателе $x \neq 0$, откуда $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = \frac{1}{x^2} \cdot 2x - \frac{2}{x^2} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x^2} = \frac{2(x - 1)}{x^2} $$ 3. Критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff x - 1 = 0 \iff x = 1 $$ 4. Знаки производной с учётом точки разрыва $x = 0$: - на промежутке $(-\infty; 0)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - на промежутке $(0; 1)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - на промежутке $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает. В точке $x = 1$ знак производной меняется с «$-$» на «$+$». **Ответ:** функция возрастает на $[1; +\infty)$, убывает на $(-\infty; 0)$ и на $(0; 1]$; $x_{\min} = 1$. --- ### 11) $f(x) = \ln^3 x - 12\ln x$ 1. Область определения: $D(f) = (0; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = 3\ln^2 x \cdot \frac{1}{x} - 12 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3(\ln^2 x - 4)}{x} = \frac{3(\ln x - 2)(\ln x + 2)}{x} $$ 3. Критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff \ln x = 2 \quad \text{или} \quad \ln x = -2 \iff x_1 = e^2, \quad x_2 = e^{-2} = \frac{1}{e^2} $$ 4. Знаки производной (для $x \in D(f)$ знаменатель $x > 0$): - на промежутке $\left(0; \frac{1}{e^2}\right)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; - на промежутке $\left(\frac{1}{e^2}; e^2\right)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - на промежутке $(e^2; +\infty)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает. При переходе через $x = \frac{1}{e^2}$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», а через $x = e^2$ — с «$-$» на «$+$». **Ответ:** функция возрастает на $\left(0; \frac{1}{e^2}\right]$ и на $[e^2; +\infty)$, убывает на $\left[\frac{1}{e^2}; e^2\right]$; $x_{\max} = \frac{1}{e^2}$, $x_{\min} = e^2$. --- ### 12) $f(x) = \lg^4 x - 2\lg^2 x$ 1. Область определения: $D(f) = (0; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = 4\lg^3 x \cdot \frac{1}{x\ln 10} - 4\lg x \cdot \frac{1}{x\ln 10} = \frac{4\lg x(\lg^2 x - 1)}{x\ln 10} = \frac{4\lg x(\lg x - 1)(\lg x + 1)}{x\ln 10} $$ 3. Критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff \lg x = 0, \quad \lg x = 1 \quad \text{или} \quad \lg x = -1 \iff x_1 = 1, \quad x_2 = 10, \quad x_3 = 0,1 $$ 4. Знаки производной: - на промежутке $(0; 0,1)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - на промежутке $(0,1; 1)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; - на промежутке $(1; 10)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - на промежутке $(10; +\infty)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает. Точки смены знака с «$-$» на «$+$»: $x = 0,1$ и $x = 10$ (точки минимума); с «$+$» на «$-$»: $x = 1$ (точка максимума). **Ответ:** функция возрастает на $[0,1; 1]$ и на $[10; +\infty)$, убывает на $(0; 0,1]$ и на $[1; 10]$; $x_{\max} = 1$, $x_{\min} = 0,1$, $x_{\min} = 10$.