ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 17 - 17.19

1) $f(x) = e^x + x$ на промежутке $[-1; 1]$. Функция $f(x)$ непрерывна и дифференцируема на отрезке $[-1; 1]$. Найдём её производную: $$ f'(x) = (e^x + x)' = e^x + 1 $$ Так как $e^x > 0$ при всех действительных $x$, то: $$ f'(x) = e^x + 1 > 0 $$ Производная строго больше нуля на всей области определения, следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает на отрезке $[-1; 1]$. Значит, наименьшее значение она принимает на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом конце. Вычислим значения функции на концах отрезка: $$ f(-1) = e^{-1} + (-1) = \frac{1}{e} - 1 $$ $$ f(1) = e^1 + 1 = e + 1 $$ Итог: $\min\limits_{[-1; 1]} f(x) = f(-1) = \frac{1}{e} - 1$; $\max\limits_{[-1; 1]} f(x) = f(1) = e + 1$. --- 2) $f(x) = x^2 e^{2x}$ на промежутке $[-2; 1]$. Функция непрерывна на отрезке $[-2; 1]$. Найдём производную функции по правилу дифференцирования произведения: $$ f'(x) = (x^2)' \cdot e^{2x} + x^2 \cdot (e^{2x})' = 2x \cdot e^{2x} + x^2 \cdot 2e^{2x} = 2x(x + 1)e^{2x} $$ Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $$ 2x(x + 1)e^{2x} = 0 $$ Так как $e^{2x} > 0$ при любых $x$, получаем: $$ x(x + 1) = 0 \implies x_1 = 0,\quad x_2 = -1 $$ Обе критические точки принадлежат отрезку $[-2; 1]$. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: $$ f(-2) = (-2)^2 \cdot e^{2 \cdot (-2)} = 4e^{-4} = \frac{4}{e^4} $$ $$ f(-1) = (-1)^2 \cdot e^{2 \cdot (-1)} = 1 \cdot e^{-2} = \frac{1}{e^2} $$ $$ f(0) = 0^2 \cdot e^{2 \cdot 0} = 0 $$ $$ f(1) = 1^2 \cdot e^{2 \cdot 1} = e^2 $$ Сравним найденные значения: Так как $x^2 e^{2x} \ge 0$ при всех $x$, наименьшее значение равно $0$. Среди положительных чисел $\frac{4}{e^4}$, $\frac{1}{e^2}$ и $e^2$ наибольшим является $e^2$ (поскольку $e \approx 2{,}72$, то $e^2 > 1$, а остальные значения меньше $1$). Итог: $\min\limits_{[-2; 1]} f(x) = f(0) = 0$; $\max\limits_{[-2; 1]} f(x) = f(1) = e^2$. --- 3) $f(x) = 7^{x^2 - 2x}$ на промежутке $[0; 2]$. Функция непрерывна на отрезке $[0; 2]$. Найдём производную функции: $$ f'(x) = 7^{x^2 - 2x} \cdot \ln 7 \cdot (x^2 - 2x)' = (2x - 2) \cdot 7^{x^2 - 2x} \ln 7 $$ Приравняем производную к нулю: $$ (2x - 2) \cdot 7^{x^2 - 2x} \ln 7 = 0 $$ Так как $7^{x^2 - 2x} > 0$ и $\ln 7 \ne 0$, получаем: $$ 2x - 2 = 0 \implies x = 1 $$ Точка $x = 1$ принадлежит отрезку $[0; 2]$. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: $$ f(0) = 7^{0^2 - 2 \cdot 0} = 7^0 = 1 $$ $$ f(1) = 7^{1^2 - 2 \cdot 1} = 7^{-1} = \frac{1}{7} $$ $$ f(2) = 7^{2^2 - 2 \cdot 2} = 7^{4 - 4} = 7^0 = 1 $$ Среди полученных значений наибольшее равно $1$, а наименьшее равно $\frac{1}{7}$. Итог: $\min\limits_{[0; 2]} f(x) = f(1) = \frac{1}{7}$; $\max\limits_{[0; 2]} f(x) = f(0) = f(2) = 1$. --- 4) $f(x) = 2^x + 2^{-x}$ на промежутке $[-1; 1]$. Функция непрерывна на отрезке $[-1; 1]$. Найдём производную функции: $$ f'(x) = 2^x \ln 2 + 2^{-x} \cdot (-1) \cdot \ln 2 = \ln 2 \cdot (2^x - 2^{-x}) $$ Приравняем производную к нулю: $$ \ln 2 \cdot (2^x - 2^{-x}) = 0 $$ $$ 2^x - 2^{-x} = 0 \implies 2^x = \frac{1}{2^x} \implies (2^x)^2 = 1 \implies 2^{2x} = 2^0 $$ $$ 2x = 0 \implies x = 0 $$ Точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: $$ f(-1) = 2^{-1} + 2^{-(-1)} = \frac{1}{2} + 2 = 2{,}5 $$ $$ f(0) = 2^0 + 2^{-0} = 1 + 1 = 2 $$ $$ f(1) = 2^1 + 2^{-1} = 2 + \frac{1}{2} = 2{,}5 $$ Сравнивая результаты, получаем: наименьшее значение равно $2$, а наибольшее равно $2{,}5$. Итог: $\min\limits_{[-1; 1]} f(x) = f(0) = 2$; $\max\limits_{[-1; 1]} f(x) = f(-1) = f(1) = 2{,}5$.