ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 17 - 17.21

### 1) $f(x) = x e^x$ **1. Область определения функции** Показательная и линейная функции определены при любых действительных значениях аргумента, поэтому: $$D(f) = (-\infty; +\infty)$$ **2. Чётность, нечётность, периодичность** $$f(-x) = -x e^{-x} = -\frac{x}{e^x}$$ Так как $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). Функция непериодическая. **3. Точки пересечения с осями координат** * С осью $Oy$ ($x = 0$): $$f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$$ * С осью $Ox$ ($f(x) = 0$): $$x e^x = 0$$ Так как $e^x > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, получаем единственный корень $x = 0$. График проходит через начало координат — точку $(0; 0)$. При $x < 0$ функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$), при $x > 0$ — положительные ($f(x) > 0$). **4. Поведение на бесконечности и асимптоты** * При $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} x e^x = +\infty$$ * При $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$$ Следовательно, прямая $y = 0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. * Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой прямой. **5. Промежутки монотонности и точки экстремума** Найдём производную: $$f'(x) = (x)' e^x + x (e^x)' = 1 \cdot e^x + x e^x = (x + 1)e^x$$ Приравняем производную к нулю: $$(x + 1)e^x = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$$ Определим знаки производной методом интервалов: * при $x \in (-\infty; -1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает; * при $x \in (-1; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. Следовательно: * функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$; * функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$; * $x = -1$ — точка минимума: $$f_{\min} = f(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e} \approx -0{,}37$$ **6. Направление выпуклости и точки перегиба** $$f''(x) = ((x + 1)e^x)' = e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x$$ $$f''(x) = 0 \implies x = -2$$ * при $x < -2$: $f''(x) < 0$ — график выпукл вверх; * при $x > -2$: $f''(x) > 0$ — график выпукл вниз. Точка перегиба: $\left(-2; -\frac{2}{e^2}\right) \approx (-2; -0{,}27)$. **7. Построение графика** При $x \to -\infty$ график приближается к оси $Ox$ снизу, проходит через точку перегиба $\left(-2; -\frac{2}{e^2}\right)$, достигает минимума в точке $\left(-1; -\frac{1}{e}\right)$, пересекает начало координат $(0; 0)$ и круто возрастает в первой четверти, уходя в $+\infty$. --- ### 2) $f(x) = x e^{-\frac{x}{2}}$ **1. Область определения функции** $$D(f) = (-\infty; +\infty)$$ **2. Чётность, нечётность** $$f(-x) = -x e^{\frac{x}{2}}$$ Функция ни чётная, ни нечётная. **3. Точки пересечения с осями координат** * При $x = 0$: $f(0) = 0$. Единственная точка пересечения с осями — $(0; 0)$. * Знаки функции: $f(x) < 0$ при $x < 0$ и $f(x) > 0$ при $x > 0$. **4. Поведение на бесконечности и асимптоты** * При $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{2}}} = 0$$ Прямая $y = 0$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$. * При $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} x e^{-\frac{x}{2}} = -\infty$$ * Вертикальных асимптот нет. **5. Промежутки монотонности и точки экстремума** Найдём производную: $$f'(x) = 1 \cdot e^{-\frac{x}{2}} + x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) e^{-\frac{x}{2}} = \left(1 - \frac{x}{2}\right) e^{-\frac{x}{2}}$$ Приравняем производную к нулю: $$1 - \frac{x}{2} = 0 \implies x = 2$$ Знаки производной: * при $x < 2$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; * при $x > 2$: $f'(x) < 0$, функция убывает. Следовательно: * функция возрастает на $(-\infty; 2]$; * функция убывает на $[2; +\infty)$; * $x = 2$ — точка максимума: $$f_{\max} = f(2) = 2 \cdot e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}74$$ **6. Направление выпуклости и точки перегиба** $$f''(x) = \left(-\frac{1}{2}\right) e^{-\frac{x}{2}} + \left(1 - \frac{x}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) e^{-\frac{x}{2}} = \frac{x - 4}{4} e^{-\frac{x}{2}}$$ $$f''(x) = 0 \implies x = 4$$ * при $x < 4$: $f''(x) < 0$ — график выпукл вверх; * при $x > 4$: $f''(x) > 0$ — график выпукл вниз. Точка перегиба: $\left(4; \frac{4}{e^2}\right) \approx (4; 0{,}54)$. **7. Построение графика** График выходит из третьего квадранта (из $-\infty$), проходит через начало координат $(0; 0)$, поднимается до точки максимума $\left(2; \frac{2}{e}\right)$, меняет характер выпуклости в точке $\left(4; \frac{4}{e^2}\right)$ и плавно приближается к оси $Ox$ сверху при $x \to +\infty$. --- ### 3) $f(x) = e^{-x^2}$ **1. Область определения функции** $$D(f) = (-\infty; +\infty)$$ **2. Чётность, нечётность** $$f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x)$$ Функция чётная. График симметричен относительно оси ординат $Oy$. **3. Точки пересечения с осями координат** * С осью $Oy$ ($x = 0$): $$f(0) = e^0 = 1 \implies (0; 1)$$ * С осью $Ox$: так как $e^{-x^2} > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, график не пересекает ось $Ox$. **4. Поведение на бесконечности и асимптоты** $$\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0, \quad \lim_{x \to -\infty} e^{-x^2} = 0$$ Прямая $y = 0$ — горизонтальная асимптота при $x \to \pm\infty$. **5. Промежутки монотонности и точки экстремума** Найдём производную: $$f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-x^2)' = -2x e^{-x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$-2x e^{-x^2} = 0 \implies x = 0$$ Знаки производной: * при $x < 0$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; * при $x > 0$: $f'(x) < 0$, функция убывает. Следовательно: * функция возрастает на $(-\infty; 0]$; * функция убывает на $[0; +\infty)$; * $x = 0$ — точка максимума: $$f_{\max} = f(0) = 1$$ **6. Направление выпуклости и точки перегиба** $$f''(x) = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2x e^{-x^2}) = 2(2x^2 - 1)e^{-x^2}$$ $$f''(x) = 0 \implies 2x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \approx \pm 0{,}71$$ * при $|x| < \frac{\sqrt{2}}{2}$: $f''(x) < 0$ (выпукла вверх); * при $|x| > \frac{\sqrt{2}}{2}$: $f''(x) > 0$ (выпукла вниз). Точки перегиба: $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$ и $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$, где $\frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0{,}61$. **7. Построение графика** График представляет собой симметричную относительно оси $Oy$ колоколообразную кривую, ограниченную сверху значением $y = 1$ в вершине $(0; 1)$ и плавно прижимающуюся к оси абсцисс при $x \to \pm\infty$. --- ### 4) $f(x) = x^2 - 2\ln x$ **1. Область определения функции** Подкоренное выражение натурального логарифма должно быть строго положительным: $$D(f) = (0; +\infty)$$ **2. Чётность, нечётность** Область определения несимметрична относительно начала координат, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной. **3. Точки пересечения с осями координат** * С осью $Oy$: точек нет, так как $x = 0 \notin D(f)$. * С осью $Ox$: решим уравнение $x^2 - 2\ln x = 0$. Так как наименьшее значение функции равно $1$ (будет показано в исследовании экстремумов), то $f(x) \ge 1 > 0$ для всех $x > 0$. Значит, точек пересечения с осью $Ox$ нет. График расположен строго выше оси $Ox$. **4. Поведение на границах области определения и асимптоты** * При $x \to 0+$: $$\lim_{x \to 0+} (x^2 - 2\ln x) = 0 - 2(-\infty) = +\infty$$ Прямая $x = 0$ (ось $Oy$) — вертикальная асимптота. * При $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 2\ln x) = \lim_{x \to +\infty} x^2 \left(1 - \frac{2\ln x}{x^2}\right) = +\infty$$ **5. Промежутки монотонности и точки экстремума** Найдём производную: $$f'(x) = 2x - \frac{2}{x} = \frac{2(x^2 - 1)}{x} = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{x}$$ Для $x \in (0; +\infty)$ знаменатель $x > 0$ и множитель $(x + 1) > 0$. Приравняем производную к нулю: $$x - 1 = 0 \implies x = 1$$ Знаки производной на области определения $(0; +\infty)$: * при $x \in (0; 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает; * при $x \in (1; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. Следовательно: * функция убывает на промежутке $(0; 1]$; * функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$; * $x = 1$ — точка минимума: $$f_{\min} = f(1) = 1^2 - 2\ln 1 = 1 - 0 = 1$$ **6. Направление выпуклости** $$f''(x) = \left(2x - \frac{2}{x}\right)' = 2 + \frac{2}{x^2}$$ Для любого $x > 0$ выполняется $f''(x) > 0$, следовательно, график функции всюду выпукл вниз и не имеет точек перегиба. **7. Построение графика** График расположен в первой четверти. При приближении к оси ординат справа ($x \to 0+$) ветвь уходит вверх в $+\infty$. График опускается до точки минимума $(1; 1)$, после чего неограниченно возрастает вправо вверх при $x \to +\infty$. --- ### 5) $f(x) = \ln(9 - x^2)$ **1. Область определения функции** Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $$9 - x^2 > 0 \iff x^2 < 9 \iff -3 < x < 3$$ $$D(f) = (-3; 3)$$ **2. Чётность, нечётность** $$f(-x) = \ln(9 - (-x)^2) = \ln(9 - x^2) = f(x)$$ Функция чётная. График симметричен относительно оси ординат $Oy$. **3. Точки пересечения с осями координат** * С осью $Oy$ ($x = 0$): $$f(0) = \ln 9 = 2\ln 3 \approx 2{,}20 \implies (0; \ln 9)$$ * С осью $Ox$ ($f(x) = 0$): $$\ln(9 - x^2) = 0 \iff 9 - x^2 = 1 \iff x^2 = 8 \iff x = \pm 2\sqrt{2} \approx \pm 2{,}83$$ Точки пересечения: $(-2\sqrt{2}; 0)$ и $(2\sqrt{2}; 0)$. **4. Поведение на границах области определения и асимптоты** * При $x \to -3+$: $$\lim_{x \to -3+} \ln(9 - x^2) = -\infty$$ * При $x \to 3-$: $$\lim_{x \to 3-} \ln(9 - x^2) = -\infty$$ Прямые $x = -3$ и $x = 3$ являются вертикальными асимптотами. **5. Промежутки монотонности и точки экстремума** Найдём производную: $$f'(x) = \frac{1}{9 - x^2} \cdot (9 - x^2)' = \frac{-2x}{9 - x^2}$$ Так как $9 - x^2 > 0$ при всех $x \in (-3; 3)$, знак производной определяется знаком числителя $-2x$: $$f'(x) = 0 \implies x = 0$$ * при $x \in (-3; 0)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; * при $x \in (0; 3)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. Следовательно: * функция возрастает на промежутке $(-3; 0]$; * функция убывает на промежутке $[0; 3)$; * $x = 0$ — точка максимума: $$f_{\max} = f(0) = \ln 9 \approx 2{,}20$$ **6. Направление выпуклости** $$f''(x) = \frac{-2(9 - x^2) - (-2x)(-2x)}{(9 - x^2)^2} = \frac{-18 + 2x^2 - 4x^2}{(9 - x^2)^2} = -\frac{2(x^2 + 9)}{(9 - x^2)^2}$$ Так как $x^2 + 9 > 0$ и $(9 - x^2)^2 > 0$, то $f''(x) < 0$ при всех $x \in (-3; 3)$. График функции всюду выпукл вверх и не имеет точек перегиба. **7. Построение графика** График расположен внутри вертикальной полосы между асимптотами $x = -3$ и $x = 3$. Из $-\infty$ ветви поднимаются вдоль асимптот, пересекают ось $Ox$ в точках $(\pm 2\sqrt{2}; 0)$ и сходятся в гладкой вершине — максимуме $(0; \ln 9)$.