ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 17 - 17.16

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) $$ Если касательная параллельна прямой $y = kx + b$, то их угловые коэффициенты равны: $f'(x_0) = k$. **1)** $f(x) = e^{6 - 7x}$, касательная параллельна прямой $y = 5 - 7x$. Угловой коэффициент прямой равен $k = -7$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (e^{6 - 7x})' = e^{6 - 7x} \cdot (6 - 7x)' = -7e^{6 - 7x} $$ 2. Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = -7$: $$ -7e^{6 - 7x_0} = -7 $$ $$ e^{6 - 7x_0} = 1 $$ $$ 6 - 7x_0 = 0 $$ $$ x_0 = \frac{6}{7} $$ 3. Найдем ординату точки касания: $$ f(x_0) = f\left(\frac{6}{7}\right) = e^{6 - 7 \cdot \frac{6}{7}} = e^0 = 1 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = -7\left(x - \frac{6}{7}\right) + 1 $$ $$ y = -7x + 6 + 1 $$ $$ y = -7x + 7 $$ Ответ: $y = -7x + 7$. --- **2)** $f(x) = e^x - e^{-x}$, касательная параллельна прямой $y = 2x - 3$. Угловой коэффициент прямой равен $k = 2$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (e^x - e^{-x})' = e^x - e^{-x} \cdot (-1) = e^x + e^{-x} $$ 2. Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = 2$: $$ e^{x_0} + e^{-x_0} = 2 $$ $$ e^{x_0} + \frac{1}{e^{x_0}} = 2 $$ Пусть $t = e^{x_0}$, где $t > 0$: $$ t + \frac{1}{t} = 2 $$ $$ t^2 - 2t + 1 = 0 $$ $$ (t - 1)^2 = 0 \implies t = 1 $$ Возвращаясь к переменной $x_0$: $$ e^{x_0} = 1 \implies x_0 = 0 $$ 3. Найдем ординату точки касания: $$ f(0) = e^0 - e^0 = 1 - 1 = 0 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 2(x - 0) + 0 $$ $$ y = 2x $$ Ответ: $y = 2x$. --- **3)** $f(x) = 6x - \ln x$, касательная параллельна прямой $y = x$. Область определения функции: $x > 0$. Угловой коэффициент прямой $y = x$ равен $k = 1$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (6x - \ln x)' = 6 - \frac{1}{x} $$ 2. Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = 1$: $$ 6 - \frac{1}{x_0} = 1 $$ $$ \frac{1}{x_0} = 5 $$ $$ x_0 = \frac{1}{5} $$ Значение $x_0 = \frac{1}{5}$ входит в область определения. 3. Найдем ординату точки касания: $$ f\left(\frac{1}{5}\right) = 6 \cdot \frac{1}{5} - \ln\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{6}{5} - (-\ln 5) = \frac{6}{5} + \ln 5 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 1 \cdot \left(x - \frac{1}{5}\right) + \frac{6}{5} + \ln 5 $$ $$ y = x - \frac{1}{5} + \frac{6}{5} + \ln 5 $$ $$ y = x + 1 + \ln 5 $$ Ответ: $y = x + 1 + \ln 5$. --- **4)** $f(x) = \ln(1 - x)$, касательная параллельна прямой $y = 1 - x$. Область определения функции: $1 - x > 0$, то есть $x < 1$. Угловой коэффициент прямой $y = -x + 1$ равен $k = -1$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (\ln(1 - x))' = \frac{1}{1 - x} \cdot (1 - x)' = -\frac{1}{1 - x} $$ 2. Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = -1$: $$ -\frac{1}{1 - x_0} = -1 $$ $$ 1 - x_0 = 1 $$ $$ x_0 = 0 $$ Значение $x_0 = 0$ удовлетворяет условию $x < 1$. 3. Найдем ординату точки касания: $$ f(0) = \ln(1 - 0) = \ln 1 = 0 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = -1 \cdot (x - 0) + 0 $$ $$ y = -x $$ Ответ: $y = -x$.