ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 17 - 17.15

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) $$ Так как касательная параллельна заданной прямой $y = kx + b$, их угловые коэффициенты равны: $f'(x_0) = k$. 1) $f(x) = e^x$, касательная параллельна прямой $y = ex - 6$. Угловой коэффициент прямой равен $k = e$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (e^x)' = e^x $$ Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = e$: $$ e^{x_0} = e^1 \implies x_0 = 1 $$ Найдем значение функции в точке касания: $$ f(x_0) = f(1) = e^1 = e $$ Составим уравнение касательной: $$ y = e(x - 1) + e $$ $$ y = ex - e + e $$ $$ y = ex $$ Ответ: $y = ex$. 2) $f(x) = e^{5x + 2}$, касательная параллельна прямой $y = 5x + 7$. Угловой коэффициент прямой равен $k = 5$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (e^{5x + 2})' = e^{5x + 2} \cdot (5x + 2)' = 5e^{5x + 2} $$ Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = 5$: $$ 5e^{5x_0 + 2} = 5 $$ $$ e^{5x_0 + 2} = 1 $$ $$ 5x_0 + 2 = 0 \implies 5x_0 = -2 \implies x_0 = -0{,}4 $$ Найдем значение функции в точке касания: $$ f(x_0) = f(-0{,}4) = e^{5 \cdot (-0{,}4) + 2} = e^0 = 1 $$ Составим уравнение касательной: $$ y = 5(x - (-0{,}4)) + 1 $$ $$ y = 5(x + 0{,}4) + 1 $$ $$ y = 5x + 2 + 1 $$ $$ y = 5x + 3 $$ Ответ: $y = 5x + 3$. 3) $f(x) = e^{-2x}$, касательная параллельна прямой $y = -x$. Угловой коэффициент прямой равен $k = -1$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (e^{-2x})' = e^{-2x} \cdot (-2x)' = -2e^{-2x} $$ Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = -1$: $$ -2e^{-2x_0} = -1 $$ $$ e^{-2x_0} = \frac{1}{2} $$ $$ -2x_0 = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 \implies x_0 = \frac{1}{2}\ln 2 $$ Найдем значение функции в точке касания: $$ f(x_0) = e^{-2x_0} = e^{-\ln 2} = \frac{1}{2} $$ Составим уравнение касательной: $$ y = -1\left(x - \frac{1}{2}\ln 2\right) + \frac{1}{2} $$ $$ y = -x + \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2} $$ Ответ: $y = -x + \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2}$. 4) $f(x) = \ln(3x - 2)$, касательная параллельна прямой $y = 3x - 2$. Область определения функции: $3x - 2 > 0 \implies x > \frac{2}{3}$. Угловой коэффициент прямой равен $k = 3$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (\ln(3x - 2))' = \frac{1}{3x - 2} \cdot (3x - 2)' = \frac{3}{3x - 2} $$ Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = 3$: $$ \frac{3}{3x_0 - 2} = 3 $$ $$ 3x_0 - 2 = 1 $$ $$ 3x_0 = 3 \implies x_0 = 1 \quad \left(1 > \frac{2}{3} \text{ — входит в область определения}\right) $$ Найдем значение функции в точке касания: $$ f(x_0) = f(1) = \ln(3 \cdot 1 - 2) = \ln 1 = 0 $$ Составим уравнение касательной: $$ y = 3(x - 1) + 0 $$ $$ y = 3x - 3 $$ Ответ: $y = 3x - 3$.