ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 17 - 17.14

Угловой коэффициент горизонтальной прямой равен $0$. Согласно геометрическому смыслу производной, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке: $k = f'(x_0) = 0$. Уравнение горизонтальной касательной имеет вид: $$ y = f(x_0) $$ 1. Раскроем скобки в выражении функции: $$ f(x) = (5^x - 65)(5^x + 15) = (5^x)^2 + 15 \cdot 5^x - 65 \cdot 5^x - 975 = 5^{2x} - 50 \cdot 5^x - 975 $$ 2. Найдем производную функции $f(x)$: $$ f'(x) = (5^{2x} - 50 \cdot 5^x - 975)' = 5^{2x} \cdot \ln 5 \cdot 2 - 50 \cdot 5^x \cdot \ln 5 $$ Вынесем общий множитель за скобки: $$ f'(x) = 5^x \ln 5 \cdot (2 \cdot 5^x - 50) $$ 3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$: $$ 5^x \ln 5 \cdot (2 \cdot 5^x - 50) = 0 $$ Так как $5^x > 0$ при любых $x \in \mathbb{R}$ и $\ln 5 \neq 0$, получаем: $$ 2 \cdot 5^x - 50 = 0 $$ $$ 2 \cdot 5^x = 50 $$ $$ 5^x = 25 $$ $$ 5^x = 5^2 \implies x_0 = 2 $$ 4. Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$: $$ f(2) = (5^2 - 65)(5^2 + 15) = (25 - 65)(25 + 15) = -40 \cdot 40 = -1600 $$ Таким образом, уравнение горизонтальной касательной имеет вид $y = -1600$. Ответ: $y = -1600$.