ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.24

Пусть $f(x) = x^3 - 2x^2$. 1. Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке: $k = f'(x_0)$. 2. Прямая $y = -x + 11$ имеет угловой коэффициент $k = -1$. Касательная параллельна данной прямой, следовательно, их угловые коэффициенты равны: $$f'(x_0) = -1$$ 3. Найдем производную функции: $$f'(x) = (x^3 - 2x^2)' = 3x^2 - 4x$$ 4. Составим и решим уравнение для нахождения абсцисс точек касания: $$3x_0^2 - 4x_0 = -1$$ $$3x_0^2 - 4x_0 + 1 = 0$$ Найдем корни через дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 = 2^2$$ $$x_1 = \frac{4 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$$ $$x_2 = \frac{4 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ 5. Найдем ординаты точек, подставив найденные значения абсцисс в формулу функции: - При $x_1 = 1$: $$y_1 = f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 = 1 - 2 = -1$$ Получаем первую точку: $(1; -1)$. - При $x_2 = \frac{1}{3}$: $$y_2 = f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{27} - 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{27} - \frac{6}{27} = -\frac{5}{27}$$ Получаем вторую точку: $\left(\frac{1}{3}; -\frac{5}{27}\right)$. Уравнения касательных в этих точках имеют вид $y = -x$ и $y = -x + \frac{4}{27}$, они не совпадают с прямой $y = -x + 11$, а значит, действительно параллельны ей. Ответ: $(1; -1)$, $\left(\frac{1}{3}; -\frac{5}{27}\right)$.