ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.22

1) Решим неравенство: $$ \log_7 \log_5 (x^2 - 2x - 3) \leq 0 $$ Так как основание внешнего логарифма $7 > 1$, логарифмическая функция возрастает. Учитывая область определения внешнего логарифма (подкоренное/подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля), переходим к равносильному неравенству: $$ 0 < \log_5 (x^2 - 2x - 3) \leq 7^0 $$ $$ 0 < \log_5 (x^2 - 2x - 3) \leq 1 $$ Так как основание логарифма $5 > 1$, функция также возрастает. Заменяя $0 = \log_5 1$ и $1 = \log_5 5$, получаем двойное неравенство: $$ 5^0 < x^2 - 2x - 3 \leq 5^1 $$ $$ 1 < x^2 - 2x - 3 \leq 5 $$ Данное двойное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 2x - 3 > 1 \\ x^2 - 2x - 3 \leq 5 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ x^2 - 2x - 4 > 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 4 = 0$: $$ D_1 = (-1)^2 - 1 \cdot (-4) = 1 + 4 = 5 $$ $$ x_1 = 1 - \sqrt{5}, \quad x_2 = 1 + \sqrt{5} $$ Решение первого неравенства: $$ x \in (-\infty; 1 - \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}; +\infty) $$ Решим второе неравенство системы: $$ x^2 - 2x - 8 \leq 0 $$ Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ по теореме Виета: $$ x_1 = -2, \quad x_2 = 4 $$ Решение второго неравенства: $$ x \in [-2; 4] $$ Найдем пересечение решений обоих неравенств. Учитывая, что $\sqrt{5} \approx 2{,}24$, имеем: $$ 1 - \sqrt{5} \approx -1{,}24 \quad \Rightarrow \quad -2 < 1 - \sqrt{5} $$ $$ 1 + \sqrt{5} \approx 3{,}24 \quad \Rightarrow \quad 1 + \sqrt{5} < 4 $$ Пересекая промежутки $[-2; 4]$ и $(-\infty; 1 - \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}; +\infty)$, получаем: $$ x \in [-2; 1 - \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}; 4] $$ **Ответ:** $[-2; 1 - \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}; 4]$ --- 2) Решим неравенство: $$ \log_{0,8} \log_2 \frac{3x - 1}{2 - x} > 0 $$ Так как основание внешнего логарифма $0 < 0{,}8 < 1$, функция убывает. Учитывая область определения внешнего логарифма, знак неравенства меняется на противоположный: $$ 0 < \log_2 \frac{3x - 1}{2 - x} < 0{,}8^0 $$ $$ 0 < \log_2 \frac{3x - 1}{2 - x} < 1 $$ Так как основание логарифма $2 > 1$, функция возрастает. Представим $0 = \log_2 1$ и $1 = \log_2 2$: $$ 2^0 < \frac{3x - 1}{2 - x} < 2^1 $$ $$ 1 < \frac{3x - 1}{2 - x} < 2 $$ Запишем двойное неравенство в виде системы: $$ \begin{cases} \dfrac{3x - 1}{2 - x} > 1 \\[2ex] \dfrac{3x - 1}{2 - x} < 2 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ \frac{3x - 1}{2 - x} - 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{3x - 1 - (2 - x)}{2 - x} > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{4x - 3}{2 - x} > 0 $$ Умножим обе части на $-1$, меняя знак неравенства: $$ \frac{4x - 3}{x - 2} < 0 $$ Применим метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = \frac{3}{4}$, $x = 2$. Получаем: $$ x \in \left(\frac{3}{4}; 2\right) $$ Решим второе неравенство системы: $$ \frac{3x - 1}{2 - x} - 2 < 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{3x - 1 - 2(2 - x)}{2 - x} < 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{5x - 5}{2 - x} < 0 $$ Разделим числитель на $5$ и умножим неравенство на $-1$: $$ \frac{x - 1}{x - 2} > 0 $$ Применим метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = 1$, $x = 2$. Получаем: $$ x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) $$ Найдем пересечение решений: $$ \begin{cases} x \in \left(\dfrac{3}{4}; 2\right) \\[2ex] x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x \in \left(\frac{3}{4}; 1\right) $$ **Ответ:** $\left(\dfrac{3}{4}; 1\right)$