ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 17 - 17.1

1) $y = x^{\sqrt{5}}$ Используем формулу производной степенной функции $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$: $$ y' = (x^{\sqrt{5}})' = \sqrt{5} x^{\sqrt{5} - 1} $$ **Ответ:** $y' = \sqrt{5} x^{\sqrt{5} - 1}$ --- 2) $y = 4e^x$ Постоянный множитель выносим за знак производной, применяя правило $(e^x)' = e^x$: $$ y' = (4e^x)' = 4(e^x)' = 4e^x $$ **Ответ:** $y' = 4e^x$ --- 3) $y = e^{5x}$ Применяем правило дифференцирования сложной функции $(e^{kx})' = k e^{kx}$: $$ y' = (e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = 5e^{5x} $$ **Ответ:** $y' = 5e^{5x}$ --- 4) $y = x^3 e^x$ Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $$ y' = (x^3)' \cdot e^x + x^3 \cdot (e^x)' = 3x^2 e^x + x^3 e^x = x^2 e^x (3 + x) $$ **Ответ:** $y' = x^2 e^x (3 + x)$ --- 5) $y = x^{\sqrt{3}} e^x$ Применяем правило дифференцирования произведения: $$ y' = (x^{\sqrt{3}})' \cdot e^x + x^{\sqrt{3}} \cdot (e^x)' = \sqrt{3} x^{\sqrt{3} - 1} e^x + x^{\sqrt{3}} e^x $$ Вынесем общий множитель $x^{\sqrt{3} - 1} e^x$ за скобки: $$ y' = x^{\sqrt{3} - 1} e^x (\sqrt{3} + x) $$ **Ответ:** $y' = x^{\sqrt{3} - 1} e^x (\sqrt{3} + x)$ --- 6) $y = e^x \sin x$ Используем правило дифференцирования произведения: $$ y' = (e^x)' \cdot \sin x + e^x \cdot (\sin x)' = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x) $$ **Ответ:** $y' = e^x (\sin x + \cos x)$ --- 7) $y = \frac{e^x}{x - 2}$ Используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ y' = \frac{(e^x)' \cdot (x - 2) - e^x \cdot (x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{e^x(x - 2) - e^x \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{e^x(x - 2 - 1)}{(x - 2)^2} = \frac{e^x(x - 3)}{(x - 2)^2} $$ **Ответ:** $y' = \frac{e^x(x - 3)}{(x - 2)^2}$ --- 8) $y = e^x + e^{-x}$ Находим производную суммы, учитывая, что $(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = -e^{-x}$: $$ y' = (e^x)' + (e^{-x})' = e^x + e^{-x} \cdot (-1) = e^x - e^{-x} $$ **Ответ:** $y' = e^x - e^{-x}$ --- 9) $y = 5^x$ Используем табличную формулу производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$: $$ y' = (5^x)' = 5^x \ln 5 $$ **Ответ:** $y' = 5^x \ln 5$ --- 10) $y = 2^{x^2}$ Используем правило дифференцирования сложной показательной функции $(a^{u})' = a^u \ln a \cdot u'$: $$ y' = (2^{x^2})' = 2^{x^2} \ln 2 \cdot (x^2)' = 2^{x^2} \ln 2 \cdot 2x = 2x \cdot 2^{x^2} \ln 2 $$ **Ответ:** $y' = 2x \cdot 2^{x^2} \ln 2$ --- 11) $y = 7^{2x - 3}$ Применяем правило дифференцирования сложной функции: $$ y' = (7^{2x - 3})' = 7^{2x - 3} \ln 7 \cdot (2x - 3)' = 7^{2x - 3} \ln 7 \cdot 2 = 2 \cdot 7^{2x - 3} \ln 7 $$ **Ответ:** $y' = 2 \cdot 7^{2x - 3} \ln 7$ --- 12) $y = x \cdot 3^x$ Используем правило произведения: $$ y' = (x)' \cdot 3^x + x \cdot (3^x)' = 1 \cdot 3^x + x \cdot 3^x \ln 3 = 3^x (1 + x \ln 3) $$ **Ответ:** $y' = 3^x (1 + x \ln 3)$ --- 13) $y = \frac{2^x - 3}{2^x + 1}$ Используем правило дифференцирования частного: $$ y' = \frac{(2^x - 3)' \cdot (2^x + 1) - (2^x - 3) \cdot (2^x + 1)'}{(2^x + 1)^2} $$ Так как $(2^x - 3)' = 2^x \ln 2$ и $(2^x + 1)' = 2^x \ln 2$, получаем: $$ y' = \frac{2^x \ln 2 \cdot (2^x + 1) - (2^x - 3) \cdot 2^x \ln 2}{(2^x + 1)^2} = \frac{2^x \ln 2 \cdot ((2^x + 1) - (2^x - 3))}{(2^x + 1)^2} = \frac{2^x \ln 2 \cdot 4}{(2^x + 1)^2} = \frac{4 \cdot 2^x \ln 2}{(2^x + 1)^2} $$ **Ответ:** $y' = \frac{4 \cdot 2^x \ln 2}{(2^x + 1)^2}$ --- 14) $y = 0,3^{\lg x}$ Применяем правило дифференцирования сложной показательной функции $(a^{u})' = a^u \ln a \cdot u'$ и формулу $(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$: $$ y' = (0,3^{\lg x})' = 0,3^{\lg x} \cdot \ln 0,3 \cdot (\lg x)' = 0,3^{\lg x} \cdot \ln 0,3 \cdot \frac{1}{x \ln 10} = \frac{0,3^{\lg x} \ln 0,3}{x \ln 10} $$ **Ответ:** $y' = \frac{0,3^{\lg x} \ln 0,3}{x \ln 10}$