ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 17 - 17.2

1) $y = x^{\pi}$ Используем формулу производной степенной функции $(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}$: $$ y' = (x^{\pi})' = \pi x^{\pi - 1} $$ Ответ: $y' = \pi x^{\pi - 1}$. --- 2) $y = e^{-2x}$ Используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u})' = e^u \cdot u'$: $$ y' = (e^{-2x})' = e^{-2x} \cdot (-2x)' = -2e^{-2x} $$ Ответ: $y' = -2e^{-2x}$. --- 3) $y = x^6 e^x$ Применяем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $$ y' = (x^6)' \cdot e^x + x^6 \cdot (e^x)' = 6x^5 e^x + x^6 e^x = x^5 e^x (6 + x) $$ Ответ: $y' = x^5 e^x (x + 6)$. --- 4) $y = e^x \cos x$ Применяем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $$ y' = (e^x)' \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)' = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x (\cos x - \sin x) $$ Ответ: $y' = e^x (\cos x - \sin x)$. --- 5) $y = \frac{x + 1}{e^x}$ Применяем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ y' = \frac{(x + 1)' \cdot e^x - (x + 1) \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{1 \cdot e^x - (x + 1) e^x}{e^{2x}} $$ Выносим $e^x$ за скобки в числителе и сокращаем дробь: $$ y' = \frac{e^x (1 - (x + 1))}{e^{2x}} = \frac{1 - x - 1}{e^x} = -\frac{x}{e^x} $$ Ответ: $y' = -\frac{x}{e^x}$. --- 6) $y = 6^x$ Используем табличную формулу производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$: $$ y' = (6^x)' = 6^x \ln 6 $$ Ответ: $y' = 6^x \ln 6$. --- 7) $y = 3^{4x+1}$ Применяем формулу производной сложной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$: $$ y' = (3^{4x+1})' = 3^{4x+1} \ln 3 \cdot (4x + 1)' = 3^{4x+1} \ln 3 \cdot 4 = 4 \cdot 3^{4x+1} \ln 3 $$ Ответ: $y' = 4 \cdot 3^{4x+1} \ln 3$. --- 8) $y = (2x + 1)^{\sqrt{10}}$ Используем правило дифференцирования сложной степенной функции $((u(x))^{\alpha})' = \alpha (u(x))^{\alpha - 1} \cdot u'(x)$: $$ y' = ((2x + 1)^{\sqrt{10}})' = \sqrt{10}(2x + 1)^{\sqrt{10} - 1} \cdot (2x + 1)' = \sqrt{10}(2x + 1)^{\sqrt{10} - 1} \cdot 2 = 2\sqrt{10}(2x + 1)^{\sqrt{10} - 1} $$ Ответ: $y' = 2\sqrt{10}(2x + 1)^{\sqrt{10} - 1}$. --- 9) $y = 10^{-x}$ Используем формулу производной сложной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$: $$ y' = (10^{-x})' = 10^{-x} \ln 10 \cdot (-x)' = 10^{-x} \ln 10 \cdot (-1) = -10^{-x} \ln 10 $$ Ответ: $y' = -10^{-x} \ln 10$. --- 10) $y = \frac{5^x + 2}{5^x - 1}$ Применяем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ y' = \frac{(5^x + 2)' \cdot (5^x - 1) - (5^x + 2) \cdot (5^x - 1)'}{(5^x - 1)^2} $$ Так как $(5^x + 2)' = 5^x \ln 5$ и $(5^x - 1)' = 5^x \ln 5$, получаем: $$ y' = \frac{5^x \ln 5 \cdot (5^x - 1) - (5^x + 2) \cdot 5^x \ln 5}{(5^x - 1)^2} $$ Выносим общий множитель $5^x \ln 5$ в числителе: $$ y' = \frac{5^x \ln 5 \, ((5^x - 1) - (5^x + 2))}{(5^x - 1)^2} = \frac{5^x \ln 5 \, (5^x - 1 - 5^x - 2)}{(5^x - 1)^2} = -\frac{3 \cdot 5^x \ln 5}{(5^x - 1)^2} $$ Ответ: $y' = -\frac{3 \cdot 5^x \ln 5}{(5^x - 1)^2}$. --- 11) $y = 0{,}7^{\operatorname{ctg} x}$ Используем формулу производной сложной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$ и формулу $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$: $$ y' = (0{,}7^{\operatorname{ctg} x})' = 0{,}7^{\operatorname{ctg} x} \ln 0{,}7 \cdot (\operatorname{ctg} x)' = 0{,}7^{\operatorname{ctg} x} \ln 0{,}7 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{0{,}7^{\operatorname{ctg} x} \ln 0{,}7}{\sin^2 x} $$ Ответ: $y' = -\frac{0{,}7^{\operatorname{ctg} x} \ln 0{,}7}{\sin^2 x}$.