ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.25

1. Область определения функции: Знаменатель дроби $x^2 + 1 > 0$ при любых действительных $x$, следовательно, функция определена и непрерывна на всей числовой прямой: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. Найдем производную функции: $$ y' = \left(\frac{x}{x^2 + 1}\right)' = \frac{x' \cdot (x^2 + 1) - x \cdot (x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} $$ 3. Найдем критические точки: $$ y' = 0 \iff \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0 $$ Так как знаменатель $(x^2 + 1)^2 > 0$ при всех $x$, приравниваем числитель к нулю: $$ 1 - x^2 = 0 $$ $$ (1 - x)(1 + x) = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1 $$ 4. Определим знаки производной на интервалах с помощью метода интервалов: Критические точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$. - При $x \in (-\infty; -1)$ (например, при $x = -2$): $y'(-2) = \frac{1 - (-2)^2}{((-2)^2 + 1)^2} = \frac{-3}{25} < 0$. Производная отрицательна, функция убывает. - При $x \in (-1; 1)$ (например, при $x = 0$): $y'(0) = \frac{1 - 0^2}{(0^2 + 1)^2} = 1 > 0$. Производная положительна, функция возрастает. - При $x \in (1; +\infty)$ (например, при $x = 2$): $y'(2) = \frac{1 - 2^2}{(2^2 + 1)^2} = \frac{-3}{25} < 0$. Производная отрицательна, функция убывает. Так как функция непрерывна в точках $x = -1$ и $x = 1$, эти точки включаются в промежутки монотонности: - Функция возрастает на отрезке $[-1; 1]$. - Функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$. 5. Найдем экстремумы функции: - При переходе через точку $x = -1$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», значит, $x = -1$ — точка минимума: $$ x_{\min} = -1 $$ $$ y_{\min} = y(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -\frac{1}{2} $$ - При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», значит, $x = 1$ — точка максимума: $$ x_{\max} = 1 $$ $$ y_{\max} = y(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} $$ Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-1; 1]$; убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$. Точка минимума: $x_{\min} = -1$, минимум функции: $y_{\min} = -\frac{1}{2}$. Точка максимума: $x_{\max} = 1$, максимум функции: $y_{\max} = \frac{1}{2}$.